ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）のカーネル（核）は当該ドメイン（定義域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\)
\(Ker (f)\): \(= f \text{ のカーネル（核） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Ker (f) \in \{V_1 \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Ker (f)\)はリニアコンビネーション（線形結合）の下で閉じていることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(Ker (f)\)はリニアコンビネーション（線形結合）の下で閉じていることを見よう。
\(v, v' \in Ker (f)\)および\(r, r' \in F\)を任意のものとしよう。
\(f (r v + r' v') = r f (v) + r' f (v') = r 0 + r' 0 = 0\)。
したがって、\(r v + r' v' \in Ker (f)\)。
\(0 \in Ker (f)\)。
ステップ2:
任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(Ker (f)\)は\(V_1\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である。
