エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*\overline{\mathbb{R}}\): \(= \mathbb{R} \cup \{- \infty, \infty\}\)で、以下に指定されるトポロジーを持つもの
\(*\overline{\mathbb{R}}^d\): ここで、\(d \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、プロダクトトポロジーを持って
//
コンディションたち:
\(\forall S \subseteq \overline{\mathbb{R}} (S \in \{\overline{\mathbb{R}} \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \iff \exists U \in \{\mathbb{R} \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}, \exists U' \subseteq \{- \infty, \infty\} (S = U \cup U'))\)
//
2: 注
それは本当にトポロジーであることを見よう。
\(\emptyset = \emptyset \cup \emptyset\)、ここで、第1の\(\emptyset\)は\(\mathbb{R}\)のオープンサブセット（開部分集合）であり第2の\(\emptyset\)は\(\{- \infty, \infty\}\)のサブセット（部分集合）である、したがって、\(\emptyset\)は\(\overline{\mathbb{R}}\)上でオープン（開）である。
\(\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{- \infty, \infty\}\)、ここで、\(\mathbb{R}\)は\(\mathbb{R}\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、\(\{- \infty, \infty\}\)は\(\{- \infty, \infty\}\)のサブセット（部分集合）である、したがって、\(\overline{\mathbb{R}}\)は\(\overline{\mathbb{R}}\)上でオープン（開）である。
\(\{U_j \cup U'_j \subseteq \overline{\mathbb{R}} \vert j \in J\}\)をオープンサブセット（開部分集合）たちの任意のセット（集合）、ここで、\(J\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、としよう。\(\cup_{j \in J} (U_j \cup U'_j) = (\cup_{j \in J} U_j) \cup (\cup_{j \in J} U'_j)\)、なぜなら、各\(r \in \cup_{j \in J} (U_j \cup U'_j)\)に対して、\(r \in U_j \cup U'_j\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(r \in U_j\)または\(r \in U'_j\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(r \in \cup_{j \in J} U_j\)または\(r \in \cup_{j \in J} U'_j\)、したがって、\(r \in (\cup_{j \in J} U_j) \cup (\cup_{j \in J} U'_j)\); 各\(r \in (\cup_{j \in J} U_j) \cup (\cup_{j \in J} U'_j)\)に対して、\(r \in \cup_{j \in J} U_j\)または\(r \in \cup_{j \in J} U'_j\)、したがって、\(r \in U_j\)、ある\(j \in J\)に対して、または\(r \in U'_j\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(r \in U_j \cup U'_j\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(r \in \cup_{j \in J} (U_j \cup U'_j)\)。しかし、\(\cup_{j \in J} U_j\)は\(\mathbb{R}\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、\(\cup_{j \in J} U'_j\)は\(\{- \infty, \infty\}\)のサブセット（部分集合）である、したがって、\(\cup_{j \in J} (U_j \cup U'_j)\)は\(\overline{\mathbb{R}}\)上でオープン（開）である。
\(\{U_j \cup U'_j \subseteq \overline{\mathbb{R}} \vert j \in J\}\)をオープンサブセット（開部分集合）たちの任意のセット（集合）、ここで、\(J\)は任意のファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、としよう。\(\cap_{j \in J} (U_j \cup U'_j) = (\cap_{j \in J} U_j) \cup (\cap_{j \in J} U'_j)\)、なぜなら、各\(r \in \cap_{j \in J} (U_j \cup U'_j)\)に対して、各\(j \in J\)に対して、\(r \in U_j \cup U'_j\)、しかし、\(r \in \mathbb{R}\)または\(r \in \{- \infty, \infty\}\)、そして、前者に対して、\(r \in U_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(r \in \cap_{j \in J} U_j\)、そして、後者に対して、\(r \in U'_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(r \in \cap_{j \in J} U'_j\)、したがって、いずれにせよ、\(r \in (\cap_{j \in J} U_j) \cup (\cap_{j \in J} U'_j)\); 各\(r \in (\cap_{j \in J} U_j) \cup (\cap_{j \in J} U'_j)\)に対して、\(r \in \cap_{j \in J} U_j\)または\(r \in \cap_{j \in J} U'_j\)、そして、前者に対して、各\(j \in J\)に対して、\(r \in U_j\)、したがって、\(r \in U_j \cup U'_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(r \in \cap_{j \in J} (U_j \cup U'_j)\)、そして、後者に対して、各\(j \in J\)に対して、\(r \in U'_j\)、したがって、\(r \in U_j \cup U'_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(r \in \cap_{j \in J} (U_j \cup U'_j)\)、したがって、いずれにせよ、\(r \in \cap_{j \in J} (U_j \cup U'_j)\)。しかし、\(\cap_{j \in J} U_j\)は\(\mathbb{R}\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、\(\cap_{j \in J} U'_j\)は\(\{- \infty, \infty\}\)のサブセット（部分集合）である、したがって、\(\cap_{j \in J} (U_j \cup U'_j)\)は\(\overline{\mathbb{R}}\)上でオープン（開）である。
