ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）に対して、もしも、マップ（写像）がユニタリである場合、それは、ノルムを維持する、そして、もしも、マップ（写像）がノルムを維持する任意のリニア（線形）サージェクション（全射）である場合、それは、ユニタリであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）がユニタリである場合、それは、ノルムを維持する、そして、もしも、当該マップ（写像）がノルムを維持する任意のリニア（線形）サージェクション（全射）である場合、それは、ユニタリであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカルフィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）を持ち、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(f\): \(: V \to V\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(f \in \{\text{ 全てのユニタリマップ（写像）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\forall v \in V (\langle f (v), f (v) \rangle = \langle v, v \rangle)\)
\(\land\)
(
\(f \in \{\text{ 全てのリニア（線形）サージェクション（全射）たち }\} \land \forall v \in V (\langle f (v), f (v) \rangle = \langle v, v \rangle)\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのユニタリマップ（写像）たち }\}\)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はユニタリであると仮定する; ステップ2: \(\langle f (v), f (v) \rangle = \langle v, v \rangle\)であることを見る; ステップ3: \(f\)はリニア（線形）サージェクション（全射）であり\(\langle f (v), f (v) \rangle = \langle v, v \rangle\)であると仮定する; ステップ4: 各\(v, v' \in V\)に対して、\(\langle f (v), f (v') \rangle = \langle v, v' \rangle\)であることを見る; ステップ5: \(f\)はユニタリであることを見る。
ステップ1:
\(f\)はユニタリであると仮定しよう。
ステップ2:
\(v \in V\)を任意のものとしよう。
\(\langle f (v), f (v) \rangle = \langle f^* \circ f (v), v \rangle = \langle id (v), v \rangle = \langle v, v \rangle\)。
ステップ3:
\(f\)はリニア（線形）サージェクション（全射）であり\(\forall v \in V (\langle f (v), f (v) \rangle = \langle v, v \rangle)\)であると仮定しよう。
ステップ4:
各\(v, v' \in V\)に対して、\(\langle f (v), f (v') \rangle = \langle v, v' \rangle\)であることを見よう。
\(\langle f (v + v'), f (v + v') \rangle = \langle v + v', v + v' \rangle\)。
左辺は、\(\langle f (v) + f (v'), f (v) + f (v') \rangle = \langle f (v), f (v) \rangle + \langle f (v), f (v') \rangle + \langle f (v'), f (v) \rangle + \langle f (v'), f (v') \rangle\)。
右辺は、\(\langle v, v \rangle + \langle v, v' \rangle + \langle v', v \rangle + \langle v', v' \rangle\)。
したがって、\(\langle f (v), f (v') \rangle + \langle f (v'), f (v) \rangle = \langle v, v' \rangle + \langle v', v \rangle\)、しかし、左辺は、\(\langle f (v), f (v') \rangle + \overline{\langle f (v), f (v') \rangle} = 2 Re (\langle f (v), f (v') \rangle)\)であり、右辺は、\(\langle v, v' \rangle + \overline{\langle v, v' \rangle} = 2 Re (\langle v, v' \rangle)\)である、したがって、\(Re (\langle f (v), f (v') \rangle) = Re (\langle v, v' \rangle)\)。
\(F = \mathbb{R}\)である時は、それは既に\(\langle f (v), f (v') \rangle = \langle v, v' \rangle\)を意味する。
\(F = \mathbb{C}\)であると仮定しよう。
\(\langle f (i v + v'), f (i v + v') \rangle = \langle i v + v', i v + v' \rangle\)。
左辺は、\(\langle i f (v) + f (v'), i f (v) + f (v') \rangle = - \langle f (v), f (v) \rangle + i \langle f (v), f (v') \rangle - i \langle f (v'), f (v) \rangle + \langle f (v'), f (v') \rangle\)。
右辺は、\(- \langle v, v \rangle + i \langle v, v' \rangle - i \langle v', v \rangle + \langle v', v' \rangle\)。
したがって、\(i \langle f (v), f (v') \rangle - i \langle f (v'), f (v) \rangle = i \langle v, v' \rangle - i \langle v', v \rangle\)、しかし、左辺は、\(i \langle f (v), f (v') \rangle - i \overline{\langle f (v), f (v') \rangle} = i (\langle f (v), f (v') \rangle - \overline{\langle f (v), f (v') \rangle}) = 2 i Im (\langle f (v), f (v') \rangle) i\)であり、右辺は、\(i \langle v, v' \rangle - i \overline{\langle v, v' \rangle} = i (\langle v, v' \rangle - \overline{\langle v, v' \rangle}) = 2 i Im (\langle v, v' \rangle) i\)である、したがって、\(Im (\langle f (v), f (v') \rangle) = Im (\langle v, v' \rangle)\)。
したがって、\(\langle f (v), f (v') \rangle = \langle v, v' \rangle\)。
ステップ5:
\(f\)はサージェクション（全射）であるから、各\(v'' \in V\)に対して、以下を満たすある\(v \in V\)、つまり、\(v'' = f (v)\)、がある。
ステップ4によって、各\(v' \in V\)に対して、\(\langle v'', f (v') \rangle = \langle f (v), f (v') \rangle = \langle v, v' \rangle\)、それが意味するのは、\(f^*\)のドメイン（定義域）は\(V\)であり\(f^* (f (v)) = v\)であること、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもののデンス（密）サブセット（部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）のアジョイントマップ（写像）の定義に従って。
それが各\(v \in V\)に対して成立するから、\(f^* \circ f = id\)。
各\(v' \in V\)に対して、\(f \circ f^* (v') = f \circ f^* (f (v)) = f (v) = v'\)、それが意味するのは、\(f \circ f^* = id\)。
\(\forall v \in V (\langle f (v), f (v) \rangle = \langle v, v \rangle)\)は、\(f\)がバウンデッド（有界）であることを意味する。
したがって、\(f\)はユニタリマップ（写像）である。
