ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのユニタリマップ（写像）に対して、マップ（写像）のアジョイントはユニタリであり、マップ（写像）のダブルアジョイントはマップ（写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのユニタリマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）がユニタリである場合、それは、ノルムを維持する、そして、もしも、当該マップ（写像）がノルムを維持する任意のリニア（線形）サージェクション（全射）である場合、それは、ユニタリであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のユニタリマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）のアジョイントはユニタリであり、当該マップ（写像）のダブルアジョイントは当該マップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカルフィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）を持ち、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(f\): \(: V \to V\), \(\in \{\text{ 全てのユニタリマップ（写像）たち }\}\)
\(f^*\): \(f \text{ = のアジョイント }\)
//
ステートメントたち:
\(f^* \in \{\text{ 全てのユニタリマップ（写像）たち }\}\)
\(\land\)
\({f^*}^* = f\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\langle f^* (v), f^* (v) \rangle = \langle v, v \rangle\)であることを見、\(f^*\)はユニタリであると結論する; ステップ2: \({f^*}^*\)はユニタリであり\({f^*}^* = {f^*}^{-1} = {f^{-1}}^{-1} = f\)であることを見る。
ステップ1:
\(f^* \circ f = f \circ f^* = id\)が意味するのは、\(f^* = f^{-1}\)。
\(f^* = f^{-1}\)はリニア（線形）サージェクション（全射）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
\(\langle f^* (v), f^* (v) \rangle = \langle f^{-1} (v), f^{-1} (v) \rangle\)。
任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）がユニタリである場合、それは、ノルムを維持する、そして、もしも、当該マップ（写像）がノルムを維持する任意のリニア（線形）サージェクション（全射）である場合、それは、ユニタリであるという命題によって、\(\langle f (f^{-1} (v)), f (f^{-1} (v)) \rangle = \langle f^{-1} (v), f^{-1} (v) \rangle\)。
しかし、左辺は、\(\langle v, v \rangle\)である、したがって、\(\langle f^* (v), f^* (v) \rangle = \langle v, v \rangle\)。
任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）がユニタリである場合、それは、ノルムを維持する、そして、もしも、当該マップ（写像）がノルムを維持する任意のリニア（線形）サージェクション（全射）である場合、それは、ユニタリであるという命題によって、\(f^*\)はユニタリである。
ステップ2:
ステップ1によって、\({f^*}^*\)はユニタリである。
したがって、\({f^*}^* \circ f^* = f^* \circ {f^*}^* = id\)、それが意味するのは、\({f^*}^* = {f^*}^{-1}\)。しかし、\(f^* = f^{-1}\)であるから、\({f^*}^{-1} = {f^{-1}}^{-1} = f\)。
