メジャラブルスペース（測定可能空間）で各単点サブセット（部分集合）がメジャラブル（測定可能）であるものに対して、スペース（空間）からスペース（空間）の中へのマップ（写像）でカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）をポイントたちのシーケンス（列）で置換するものはメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）で各単点サブセット（部分集合）がメジャラブル（測定可能）であるものに対して、当該スペース（空間）から当該スペース（空間）の中への任意のマップ（写像）で任意のカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）をポイントたちの任意のシーケンス（列）で置換するものはメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)で、\(\forall m \in M (\{m\} \in A)\)を満たすもの
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{s_j \in M \vert j \in J\}\)
\(s\): \(: J \to M\)
\(f\): \(: M \to M, m \mapsto s (j) \text{ 、 } m = s_j \in S \text{ である時 }; \mapsto m \text{ 、そうでない時 }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
2: 注
本命題のあるモチベーションは、あるメジャラブルマップ（測定可能写像）\(f': M_1 \to M_2\)からあるメジャラブルマップ（測定可能写像）を作成することである、\(f'\)を何らかのカウンタブル（可算）イメージ（像）ポイントたちに対してのみ調整することによって: 本命題に対して任意の\(f: M_2 \to M_2\)を取ると、\(f \circ f': M_1 \to M_2\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
例えば、あるメジャラブル（測定可能）\(f': M_1 \to [- \infty, \infty]\)に対して、\(f: [- \infty, \infty] \to [- \infty, \infty]\)を\(S = \{- \infty, \infty\}\)および\(s = \{0, 0\}\)として取ると、\(f \circ f'\)は実際上\(\mathbb{R}\)の中へのマップ（写像）、メジャラブル（測定可能）、となる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(a \in A\)および\(S' := \{s_j \in S \vert s (s_j) \in a\} \subseteq S\)を取り、\(f^{-1} (a) = (a \setminus S) \cup S'\)であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(a \in A\)を任意のものとしよう。
\(S' := \{s_j \in S \vert s (s_j) \in a\} \subseteq S\)のことを考えよう。
\(f^{-1} (a) = (a \setminus S) \cup S'\)であることを見よう。
\(m \in f^{-1} (a)\)を任意のものとしよう。
\(m \in a \cup S\)、なぜなら、もしも、\(m \notin a \cup S\)である場合、\(m \notin S\)であるから、\(f (m) = m\)、しかし、\(m \notin a\)、したがって、\(f (m) \notin a\)、したがって、\(m \notin f^{-1} (a)\)、矛盾。
\(a \cup S = (a \setminus S) \cup S\)。
したがって、\(m \in a \setminus S\)または\(m \in S\)。
\(m \in S\)である時、\(m \in S'\)、なぜなら、そうでなければ、\(m \in S \setminus S'\)、\(f (m) = s (j) \notin a\)、ここで、\(m = s_j\)、したがって、\(m \notin f^{-1} (a)\)、矛盾。
したがって、\(m \in a \setminus S\)または\(m \in S'\)。
したがって、\(m \in (a \setminus S) \cup S'\)。
\(m \in (a \setminus S) \cup S'\)を任意のものとしよう。
\(m \in a \setminus S\)または\(m \in S'\)。
\(m \in a \setminus S\)である時、\(f (m) = m \in a\)、したがって、\(m \in f^{-1} (a)\)。
\(m \in S'\)である時、\(f (m) = s (j) \in a\)、ここで、\(m = s_j\)、したがって、\(m \in f^{-1} (a)\)。
したがって、\(m \in f^{-1} (a)\)、いずれにせよ。
したがって、\(f^{-1} (a) = (a \setminus S) \cup S'\)。
ステップ2:
各単点サブセット（部分集合）は\(A\)内にあるから、\(S \in A\)、カウンタブル（可算）単点サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）として。
\(a \setminus S \in A\)。
\(S' \in A\)、なぜなら、それは、カウンタブル（可算）単点サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）である。
したがって、\((a \setminus S) \cup S' \in A\)。
したがって、\(f\)はメジャラブル（測定可能）である。
