メジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間メジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M'_1, A'_1)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\((M'_2, A'_2)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\((M'_3, A'_3)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\((M_1, A_1)\): \(\in \{(M'_1, A'_1) \text{ の全てのメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たち }\}\)
\((M_2, A_2)\): \(\in \{(M'_2, A'_2) \text{ の全てのメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たち }\}\)
\((\widetilde{M_2}, \widetilde{A_2})\): \(\in \{ (M'_2, A'_2) \text{ の全てのメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たち }\}\)で、\(M_2 \subseteq \widetilde{M_2}\)を満たすもの
\((M_3, A_3)\): \(\in \{(M'_3, A'_3) \text{ の全てのメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たち }\}\)
\(f_1\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
\(f_2\): \(: \widetilde{M_2} \to M_3\), \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
\(f_2 \circ f_1\): \(: M_1 \to M_3\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_2 \circ f_1 \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち） }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(a \in A_3\)を取り、\((f_2 \circ f_1)^{-1} (a) = f_1^{-1} (f_2^{-1} (a) \cap M_2)\)であることを見る; ステップ2: \(f_2^{-1} (a) \cap M_2 \in A_2\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(a \in A_3\)を任意のものとする。
\((f_2 \circ f_1)^{-1} (a) = f_1^{-1} (f_2^{-1} (a) \cap M_2)\)、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題によって。
ステップ2:
\(f_2^{-1} (a) \in \widetilde{A_2}\)、なぜなら、\(f_2\)はメジャラブル（測定可能）である。
\(f_2^{-1} (a) = a' \cap \widetilde{M_2}\)、ある\(a' \in A'_2\)に対して、メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）の定義によって。
\(f_2^{-1} (a) \cap M_2 = a' \cap \widetilde{M_2} \cap M_2 = a' \cap M_2 \in A_2\)。
ステップ3:
したがって、\((f_2 \circ f_1)^{-1} (a) = f_1^{-1} (f_2^{-1} (a) \cap M_2) = f_1^{-1} (a' \cap M_2) \in A_1\)、なぜなら、\(f_1\)はメジャラブル（測定可能）である。
したがって、\(f_2 \circ f_1\)はメジャラブル（測定可能）である。
