メジャラブルスペース（測定可能空間）でサブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成されたものおよびサブセット（部分集合）に対して、サブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）はリストリクテッド（制限された）サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成されたものであることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）でサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成されたものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は当該リストリクテッド（制限された）サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成されたものであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M', A')\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)、ここで、\(A' = \sigma (S')\)、任意の\(S' \subseteq Pow (M')\)に対して
\((M, A)\): \(\in \{(M', A') \text{ の全てのメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たち }\}\)
\(S\): \(= \{s' \cap M \in Pow (M) \vert s' \in S'\}\)
\(\sigma (S)\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(A = \sigma (S)\)
//
2: 注
例えば、エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\overline{\mathbb{R}}\)で、トポロジー\(\overline{O}\)を持つものおよびユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}\)に対して、\(\mathbb{R}\)は\(\overline{\mathbb{R}}\)のサブスペース（部分空間）トポロジー\(O\)を持ち、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）\(\sigma (O)\)は、\(\sigma (\overline{O})\)のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である: \(O = \{\overline{o} \cap \mathbb{R} \in Pow (\mathbb{R}) \vert \overline{o} \in \overline{O}\}\)。
同様に、\(\overline{\mathbb{R}}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）\([0, \infty]\)でトポロジー\(O\)を持つものに対して、\(\sigma (O)\)は\(\sigma (\overline{O})\)のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sigma (S) \subseteq A\)であることを見る; ステップ2: \(\widetilde{A'} := \{U \subseteq M' \vert U \cap M \in \sigma (S)\}\)を取り、\(A' \subseteq \widetilde{A'}\)であることを見る; ステップ3: \(A \subseteq \sigma (S)\)であることを見る、\(A = \{a' \cap M \vert a' \in A'\}\)を用いて。
ステップ1:
\(\sigma (S) \subseteq A\)であることを見よう。
\(A = \{a' \cap M \vert a' \in A'\}\)および\(S' \subseteq A'\)であるから、\(S \subseteq A\)、なぜなら、各\(s \in S\)に対して、\(s = s' \cap M\)、ある\(s' \in S'\)に対して、\(s' \in A'\)、そして、\(s' \cap M \in A\)。
したがって、\(A\)は、\(S\)を包含する\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である。
\(\sigma (S)\)はそうした\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たち全てのインターセクション（共通集合）であるから、\(\sigma (S) \subseteq A\)。
ステップ2:
\(\widetilde{A'} := \{U \subseteq M' \vert U \cap M \in \sigma (S)\}\)を取ろう。
\(\widetilde{A'}\)は\(M'\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることを見よう。
\(M' \in \widetilde{A'}\)、なぜなら、\(M' \cap M = M \in \sigma (S)\)。
\(U \in \widetilde{A'}\)を任意のものとしよう。
\(M' \setminus U \in \widetilde{A'}\)、なぜなら、\((M' \setminus U) \cap M = (M' \cap M) \setminus (U \cap M)\)、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(= M \setminus (U \cap M) \in \sigma (S)\)、なぜなら、\(U \cap M \in \sigma (S)\)。
\(s: \mathbb{N} \to \widetilde{A'}\)を任意のものとしよう。
\((\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) \cap M = \cup_{j \in \mathbb{N}} (s (j) \cap M)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(\in \sigma (S)\)、なぜなら、\(s (j) \cap M \in \sigma (S)\)。
したがって、\(\widetilde{A'}\)は\(M'\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である。
\(S' \subseteq \widetilde{A'}\)、なぜなら、各\(s' \in S'\)に対して、\(s' \cap M \in S \subseteq \sigma (S)\)。
したがって、\(\widetilde{A'}\)は、\(M'\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）で\(S'\)を包含するものである。
したがって、\(A' \subseteq \widetilde{A'}\)、なぜなら、\(A'\)はそうした\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たち全てのインターセクション（共通集合）である。
ステップ3:
\(A = \{a' \cap M \vert a' \in A'\} \subseteq \{a' \cap M \vert a' \in \widetilde{A'}\}\)、なぜなら、\(A' \subseteq \widetilde{A'}\)、\(\subseteq \sigma (S)\)、\(\widetilde{A'}\)の定義によって。
したがって、\(A = \sigma (S)\)。
