メジャースペース（測度空間）およびメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）に対して、スペース（空間）のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）上でローカルにネグリジブル（無視可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）および任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）に対して、当該スペース（空間）の任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M', A', \mu')\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\(M\): \(\in A'\)
\((M, A, \mu)\): \(= \text{ 当該メジャーサブスペース（測度部分空間） }\)
\(S'\): \(\in \{A' \text{ のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\)
\(S\): \(= S' \cap M\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{A \text{ の全てのローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たす各\(a \in A\)、つまり、\(\mu (a) \lt \infty\)、を取り、\(S \cap a\)はネグリジブル（無視可能）であることを見る。
ステップ1:
\(a \in A\)を\(\mu (a) \lt \infty\)を満たす任意のものとしよう。
\(S \cap a\)は\(M\)上でネグリジブル（無視可能）であることを見る必要がある。
\(a = a' \cap M\)、ある\(a' \in A'\)に対して、しかし、\(a' \cap M \in A'\)、なぜなら、\(M \in A'\)、したがって、\(a \in A'\)。
\(S \cap a = S' \cap M \cap a\)、しかし、\(M \cap a = M \cap a' \cap M = M \cap a' \in A'\)、ところで、\(\mu' (M \cap a) = \mu (a) \lt \infty\)、したがって、\(S' \cap M \cap a\)はネグリジブル（無視可能）である、そして、以下を満たすある\(N' \in A'\)、つまり、\(S' \cap M \cap a \subseteq N'\)および\(\mu' (N') = 0\)、がある。
\(S' \cap M \cap a \cap M \subseteq N' \cap M\)、しかし、左辺は\(S \cap a\)であり、右辺は\(A\)内にあり、\(\mu (N' \cap M) = \mu' (N' \cap M) = 0\)。
したがって、\(S \cap a\)は\(M\)上でネグリジブル（無視可能）である。
したがって、\(S\)は\(M\)上でローカルにネグリジブル（無視可能）である。
