メジャースペース（測度空間）およびメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）はスペース（空間）上でローカルにネグリジブル（無視可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）および任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）の任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）は当該スペース（空間）上でローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M', A', \mu')\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\(M\): \(\in A'\)
\((M, A, \mu)\): \(= \text{ 当該メジャーサブスペース（測度部分空間） }\)
\(S\): \(\in \{M \text{ の全てのローカルにネグリジブル（無視可能）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{M' \text{ の全てのローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たす任意の\(a' \in A'\)、つまり、\(\mu' (a') \lt \infty\)、を取り、\(S \cap a'\)は\(M'\)のネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）であることを見る。
ステップ1:
\(a' \in A'\)を、\(\mu' (a') \lt \infty\)を満たす任意のものとしよう。
\(S \cap a' = S \cap a' \cap M\)、なぜなら、\(S \subseteq M\)、いずれにせよ。
\(a' \cap M \in A\)、メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測度空間部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）の定義によって。
\(\mu (a' \cap M) = \mu' (a' \cap M) \le \mu' (a') \lt \infty\)。
\(S\)は\(M\)上でローカルにネグリジブル（無視可能）であるから、\(S \cap a' \cap M\)は\(M\)上でネグリジブル（無視可能）である、したがって、以下を満たすある\(N \in A\)、つまり、\(S \cap a' \cap M \subseteq N\)および\(\mu (N) = 0\)、がある。
\(N = N' \cap M\)、ある\(N' \in A'\)に対して、メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測度空間部分集合）に対するメジャーサブスペース（測度部分空間）の定義によって。
しかし、\(N = N' \cap M \in A'\)、なぜなら、\(M \in A'\)、そして、\(S \cap a' = S \cap a' \cap M \subseteq N\)および\(\mu' (N) = \mu (N) = 0\)。
したがって、\(S \cap a'\)は\(M'\)のネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）である。
したがって、\(S\)は\(M'\)上でローカルにネグリジブル（無視可能）である。
