メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たちのネストにおいて、メジャラブルスペース（測定可能空間）のサブセット（部分集合）のメジャラブル（測定可能）性は、スペース（空間）がどのスーパースペース（包含空間）のサブスペース（部分空間）であるとみなされるかに依存しないことの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）の任意のサブセット（部分集合）のメジャラブル（測定可能）性は、当該スペース（空間）がどのスーパースペース（包含空間）のサブスペース（部分空間）であるとみなされるかに依存しないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M'', A'')\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\((M', A')\): \(\in \{(M'', A'') \text{ の全てのメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たち }\}\)
\(M\): \(\subseteq M'\)
\((M, A)\): \(\in \{(M', A') \text{ の全てのメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たち }\}\)
\((M, \widetilde{A})\): \(\in \{(M'', A'') \text{ の全てのメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(A = \widetilde{A}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(a \in A\)を取り、\(a \in \widetilde{A}\)であることを見る; ステップ2: 任意の\(\widetilde{a} \in \widetilde{A}\)を取り、\(\widetilde{a} \in A\)であることを見る。
ステップ1:
\(a \in A\)を任意のものとする。
\(a = a' \cap M\)、ある\(a' \in A'\)に対して。
しかし、\(a' = a'' \cap M'\)、ある\(a'' \in A''\)に対して。
したがって、\(a = a' \cap M = a'' \cap M' \cap M = a'' \cap M \in \widetilde{A}\)。
ステップ2:
\(\widetilde{a} \in \widetilde{A}\)を任意のものとしよう。
\(\widetilde{a} = a'' \cap M\)、ある\(a'' \in A''\)に対して。
しかし、\(a'' \cap M = a'' \cap M' \cap M\)、そして、\(a'' \cap M' \in A'\)。
したがって、\(\widetilde{a} \in A\)。
