メジャラブルマップ（測定可能写像）のコドメイン（余域）に関するエクスパンション（拡張）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）のコドメイン（余域）に関する任意のエクスパンション（拡張）はメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M_1, A_1)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\((M''_2, A''_2)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\((M'_2, A'_2)\): \(\in \{(M''_2, A''_2) \text{ の全てのメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たち }\}\)
\((M_2, A_2)\): \(\in \{(M'_2, A'_2) \text{ の全てのメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
\(f'\): \(: M_1 \to M'_2, m \mapsto f (m)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
2: 注
\((M_2, A_2)\)が\((M'_2, A'_2)\}\)のメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）であるとみなされるか\((M''_2, A''_2)\}\)のメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）であるとみなされるかは問題にならない、なぜなら、それらは同一である、メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）の任意のサブセット（部分集合）のメジャラブル（測定可能）性は、当該スペース（空間）がどのスーパースペース（包含空間）のサブスペース（部分空間）であるとみなされるかに依存しないという命題によって。
勿論、\((M'_2, A'_2)\)は\((M''_2, A''_2)\)であるよう取ることができる、したがって、コドメイン（余域）は、当該マップ（写像）をメジャラブル（測定可能）であるようにしたまま\(M''_2\)に拡張することができる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(a' \in A'\)を取り、\(f'^{-1} (a') = f^{-1} (a' \cap M_2)\)であることを見る。
ステップ1:
\(a' \in A'\)を任意のものとする。
\(f'^{-1} (a') = f^{-1} (a' \cap M_2)\)であることを見よう。
各\(p \in f'^{-1} (a')\)に対して、\(f' (p) \in a'\)、しかし、\(f' (p) = f (p) \in M_2\)、したがって、\(f (p) \in a' \cap M_2\)、したがって、\(p \in f^{-1} (a' \cap M_2)\)。
各\(p \in f^{-1} (a' \cap M_2)\)に対して、\(f (p) \in a' \cap M_2 \subseteq a'\)、しかし、\(f (p) = f' (p)\)、したがって、\(p \in f'^{-1} (a')\)。
\(a' \cap M_2 \in A_2\)および\(f\)はメジャラブル（測定可能）であるから、\(f^{-1} (a' \cap M_2) \in A_1\)。
したがって、\(f'\)はメジャラブル（測定可能）である。
