コドメイン（余域）をリストリクテッド（制限された）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）およびその任意のコドメイン（余域）リストリクション（制限）に対して、元のコドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）の当該コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は当該サブセット（部分集合）の元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S'_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f'\): \(: S_1 \to S'_2\)
\(S_2\): \(\subseteq S'_2\)で、以下を満たすもの、つまり、\(f' (S_1) \subseteq S_2\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2, s \mapsto f' (s)\)
\(S\): \(\subseteq S'_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f^{-1} (S) = f'^{-1} (S)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(s \in f^{-1} (S)\)に対して、\(s \in f'^{-1} (S)\)であることを見る; ステップ2: 各\(s \in f'^{-1} (S)\)に対して、\(s \in f^{-1} (S)\)であることを見る。
ステップ1:
\(s \in f^{-1} (S)\)を任意のものとしよう。
\(f (s) \in S\)。
しかし、\(f' (s) = f (s) \in S\)。
したがって、\(s \in f'^{-1} (S)\)。
ステップ2:
\(s \in f'^{-1} (S)\)を任意のものとしよう。
\(f' (s) \in S\)。
しかし、\(f (s) = f' (s) \in S\)。
したがって、\(s \in f^{-1} (S)\)。
