メジャースペース（測度空間）に対して、ローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）はローカルにネグリジブル（無視可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）に対して、任意のローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たちの任意のシーケンス（列）のユニオン（和集合）はローカルにネグリジブル（無視可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\(s\): \(: \mathbb{N} \to \{M \text{ の全てのローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j) \in \{M \text{ の全てのローカルにネグリジブルサブセット（無視可能部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たす任意の\(a \in A\)、つまり、\(\mu (a) \lt \infty\)を取り、\((\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) \cap a\)はネグリジブル（無視可能）であることを見る。
ステップ1:
\(a \in A\)を以下を満たす任意のもの、つまり、\(\mu (a) \lt \infty\)、としよう。
\((\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) \cap a\)はネグリジブル（無視可能）であることを見よう。
\((\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) \cap a = \cup_{j \in \mathbb{N}} (s (j) \cap a)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(s (j)\)はローカルにネグリジブル（無視可能）であるから、\(s (j) \cap a \subseteq N_j\)、以下を満たすある\(N_j \in A\)、つまり、\(\mu (N_j) = 0\)、に対して。
したがって、\((\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) \cap a \subseteq \cup_{j \in \mathbb{N}} N_j\)。
\(\cup_{j \in \mathbb{N}} N_j \in A\)、そして、\(\mu (\cup_{j \in \mathbb{N}} N_j) \le \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu (N_j) = \sum_{j \in \mathbb{N}} 0 = 0\)。
したがって、\((\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) \cap a\)はネグリジブル（無視可能）である。
したがって、\(\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)\)はローカルにネグリジブル（無視可能）である。
