メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間メジャラブルマップ（測定可能写像）に対して、ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）およびコドメイン（余域）サブスペース（部分空間）に関するリストリクション（制限）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）およびその任意のコドメイン（余域）リストリクション（制限）に対して、元のコドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）の当該コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は当該サブセット（部分集合）の元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）に対して、任意のドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）および任意のコドメイン（余域）サブスペース（部分空間）に関するリストリクション（制限）はメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M'_1, A'_1)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\((M'_2, A'_2)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(f'\): \(: M'_1 \to M'_2\), \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
\(M_1\): \(\subseteq M'_1\)
\((M_1, A_1)\): \(= (M'_1, A'_1) \text{ のメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間） }\)
\(M_2\): \(\subseteq M'_2\)で、以下を満たすもの、つまり、\(f' (M_1) \subseteq M_2\)
\((M_2, A_2)\): \(= (M'_2, A'_2) \text{ のメジャラブルサブスペース（測定可能部分空間） }\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2, p \mapsto f' (p)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(a \in A_2\)を取り、\(a = a' \cap M_2\)、ここで、\(a' \in A'_2\)、であることを見る; ステップ2: \(f^{-1} (a) = f'^{-1} (a') \cap M_1\)であることを見、本命題を結論する。
ステップ1:
\(a \in A_2\)を任意のものとしよう。
\(a = a' \cap M_2\)、ここで、\(a' \in A'_2\)、メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）の定義によって。
ステップ2:
\(f^{-1} (a) = (f' \vert_{M_1})^{-1} (a) = f'^{-1} (a) \cap M_1\)、任意のマップ（写像）およびその任意のコドメイン（余域）リストリクション（制限）に対して、元のコドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）の当該コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は当該サブセット（部分集合）の元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）であるという命題および任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
\(= f'^{-1} (a' \cap M_2) \cap M_1 = f'^{-1} (a') \cap f'^{-1} (M_2) \cap M_1\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
しかし、\(f'^{-1} (M_2) \cap M_1 = M_1\)、なぜなら、各\(p \in M_1\)に対して、\(f' (p) \in M_2\)、したがって、\(p \in f'^{-1} (M_2)\)、したがって、\(= f'^{-1} (a') \cap M_1\)。
しかし、\(f'\)はメジャラブル（測定可能）であるから、\(f'^{-1} (a') \in A'_1\)。
したがって、\(f^{-1} (a) \in A_1\)、メジャラブルサブスペース（測定可能部分空間）の定義によって。
したがって、\(f\)はメジャラブル（測定可能）である。
