プロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）の定義.
- 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、プロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述1
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\( \{(M_j, A_j) \vert j \in J\}\): \((M_j, A_j) \in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\( M\): \(= \times_{j \in J} M_j\)
\( S\): \(= \{\times_{j \in J} a_j \subseteq M \vert a_j \in A_j \text{ ここで、有限数の } a_j \text{ たちだけが } M_j s \text{ でない }\}\)
\(*A\): \(\in \{M \text{ の全ての } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(A = S \text{ によって生成された } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
//
\(\times_{j \in J} a_j\)は、\(\times_{j \in J} M_j\)のサブセット（部分集合）であるとみなされている、なぜなら、各\(p \in \times_{j \in J} a_j\)に対して、\(p\)は\(J\)から\(\cup_{j \in J} a_j\)の中への\(p (j) \in a_j\)を満たすファンクション（関数）である、それは、\(J\)から\(\cup_{j \in J} M_j\)の中への\(p (j) \in M_j\)を満たすファンクション（関数）である。
2: 構造化された記述2
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \{(M_1, A_1), ..., (M_n, A_n)\}\): \((M_j, A_j) \in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\( M\): \(= M_1 \times ... \times M_n\)
\( S\): \(= \{a_1 \times ... \times a_n \subseteq M \vert a_j \in A_j\}\)
\(*A\): \(\in \{M \text{ の全ての } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(A = S \text{ によって生成された } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
//
3: 注
時折、\(A = \times_{j \in J} A_j\)および\(A = A_1 \times ... \times A_n\)のような表記たちが使われるが、それらはいくらか誤解を招きやすい、なぜなら、例えば、\(A_1 \times ... \times A_n\)はプロダクトセット（集合）の記法であるが、\(A\)はプロダクトセット（集合）ではない。
