\(\mathbb{R}\)上のバウンデッドインターバル（有界区間）でボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）およびルベーグメジャー（測度）を持つものおよび\(L^2\)スペース（空間）に対して、絶対値ファンクション（関数）のインテグラル（積分）はインターバル（区間）のメジャー（測度）の平方根掛ける絶対値ファンクション（関数）の2乗のインテグラル（積分）の平方根以下であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(\mathbb{R}\)上の任意のバウンデッドインターバル（有界区間）でユークリディアンサブスペース（部分空間）トポロジーのボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）およびルベーグメジャー（測度）を持つものおよび当該メジャースペース（測度空間）上方の\(L^2\)スペース（空間）に対して、任意の絶対値ファンクション（関数）のインテグラル（積分）は、当該インターバル（区間）のメジャー（測度）の平方根掛ける当該絶対値ファンクション（関数）の2乗のインテグラル（積分）の平方根以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\((I, A, \lambda)\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのバウンデッドインターバル（有界空間）たち }\}\)、\(= (l, h)\), \((l, h]\), \([l, h)\), \([l, h]\)で、サブスペース（部分空間）トポロジー、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）およびルベーグメジャー（測度）を持つもの
\(\mathbb{C}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(F\): \(\in \{\mathbb{C}, \mathbb{R}\}\)
\(L^2 (I, A, \lambda, F)\):
\(f\): \(\in L^2 (I, A, \lambda, F)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\int_I \vert f \vert d \lambda \le \sqrt{h - l} \sqrt{\int_I \vert f \vert^2 d \lambda}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(L^2 (I, A, \lambda, F)\)はヒルベルトスペース（空間）であることを見る; ステップ2: \(1, \vert f \vert \in L^2 (I, A, \lambda, F)\)にコーシー-シュワルツ不等式を適用する。
ステップ1:
\(L^2 (I, A, \lambda, F)\)は、インナープロダクト（内積）\(\langle f, g \rangle = \int_I f \overline{g} d \lambda\)を持ってヒルベルトスペース（空間）である、任意のメジャースペース（測度空間）上方の\(L^2\)でカノニカル（正典）インナープロダクト（内積）を持つものはヒルベルトスペース（空間）であるという命題によって。
ステップ2:
\(1 \in L^2 (I, A, \lambda, F)\)、ここで、\(1\)はコンスタントに1なファンクション（関数）である、なぜなら、\(1\)はメジャラブル（測定可能）である（\(F\)の任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）のプリイメージ（前像）は\(I\)または\(\emptyset\)）、そして、\(\int_I \vert 1 \vert^2 d \lambda = h - l \lt \infty\)。
\(\vert f \vert \in L^2 (I, A, \lambda, F)\)はよく知られている事実である。
任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式を\(1, \vert f \vert \in L^2 (I, A, \lambda, F)\)へ適用しよう: \(\vert \langle 1, \vert f \vert \rangle \vert \le \sqrt{\langle 1, 1 \rangle} \sqrt{\langle \vert f \vert, \vert f \vert \rangle}\)。
\(\vert \langle 1, \vert f \vert \rangle \vert = \int_I 1 \vert f \vert d \lambda = \int_I \vert f \vert d \lambda\)。
\(\sqrt{\langle 1, 1 \rangle} \sqrt{\langle \vert f \vert, \vert f \vert \rangle} = \sqrt{\int_I 1 1 d \lambda} \sqrt{\int_I \vert f \vert^2 d \lambda} = \sqrt{h - l} \sqrt{\int_I \vert f \vert^2 d \lambda}\)。
したがって、\(\int_I \vert f \vert d \lambda \le \sqrt{h - l} \sqrt{\int_I \vert f \vert^2 d \lambda}\)。
