メジャースペース（測度空間）上方の\(L^2\)でカノニカル（正典）インナープロダクト（内積）を持つものはヒルベルトスペース（空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）上方の\(L^p\)の定義を知っている。
- 読者は、メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測度空間部分集合）上方のインテグラブルコンプレックスファンクション（積分可能複素関数）のルベーグインテグラル（積分）の定義を知っている。
- 読者は、ヒルベルトスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの中へのマップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）がメジャラブル（測定可能）である場合、そしてその場合に限って、リアル（実）およびイマジナリー（虚）パートたちマップ（写像）たちはメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、\(1\)以上の任意のリアルナンバー（実数）または\(\infty\)である\(p\)、そのエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）\(q\)、任意のメジャースペース（測度空間）、当該メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^p\)の任意の要素、当該メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^q\)の任意の要素に対して、当該\(2\)要素たちの絶対値たち積のルベーグインテグラル（積分）は、当該要素たちのセミノルムたちの積以下である（ヘルダーの不等式）という命題を認めている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則を認めている。
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、当該ノルムがパラレログラム（平行四辺形）法則を満たす場合、当該ノルムはこのようにユニークなインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）上方の\(L^p\)はコンプリート（完備）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）上方の\(L^2\)でカノニカル（正典）インナープロダクト（内積）を持つものはヒルベルトスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\(\mathbb{C}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(F\): \(\in \{\mathbb{C}, \mathbb{R}\}\)
\(L^2 (M, A, \mu, F)\): で、インナープロダクト（内積）\(\langle [f_1], [f_2] \rangle = \int_M f_1 \overline{f_2} d \mu\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(L^2 (M, A, \mu, F) \in \{\text{ 全てのヒルベルトスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 当該インナープロダクト（内積）はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見る; ステップ2: 当該ノルムは当該インナープロダクト（内積）からインデュースト（誘導された）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
当該インナープロダクト（内積）はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\([f_1], [f_2], [f_3] \in L^2 (M, A, \mu, F)\)および\(r_1, r_2 \in F\)を任意のものとしよう。
\(\overline{f_2}\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの中へのマップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）がメジャラブル（測定可能）である場合、そしてその場合に限って、リアル（実）およびイマジナリー（虚）パートたちマップ（写像）たちはメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
\(f_1 \overline{f_2}\)はメジャラブル（測定可能）である、よく知られている事実として: リアル（実）メジャラブルファンクション（測定可能関数）たちのアディション（和）たちとマルチプリケーション（積）たちはメジャラブル（測定可能）であることを受け入れるところ、\(f_1 \overline{f_2}\)のリアル（実）部とイマジナリー（虚）部はメジャラブル（測定可能）である、そして、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの中へのマップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）がメジャラブル（測定可能）である場合、そしてその場合に限って、リアル（実）およびイマジナリー（虚）パートたちマップ（写像）たちはメジャラブル（測定可能）であるという命題が適用できる。
\(f_1 \overline{f_2}\)はインテグラブル（積分可能）であることを見よう。
そうであるのは、もしも、\(\vert f_1 \overline{f_2} \vert\)がインテグラブル（積分可能）である場合、そしてその場合に限って、である、よく知られているとおり。
\(\int_M \vert f_1 \overline{f_2} \vert d \mu \le \Vert f_1 \Vert \Vert \overline{f_2} \Vert\)、\(1\)以上の任意のリアルナンバー（実数）または\(\infty\)である\(p\)、そのエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）\(q\)、任意のメジャースペース（測度空間）、当該メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^p\)の任意の要素、当該メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^q\)の任意の要素に対して、当該\(2\)要素たちの絶対値たち積のルベーグインテグラル（積分）は、当該要素たちのセミノルムたちの積以下である（ヘルダーの不等式）という命題によって: \(2\)は\(2\)のエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）である、\(= \Vert f_1 \Vert \Vert f_2 \Vert \lt \infty\)。
したがって、\(f_1 \overline{f_2}\)はインテグラブル（積分可能）である。
したがって、\(\int_M f_1 \overline{f_2} d \mu\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
\(\int_M f_1 \overline{f_2} d \mu\)はレプリゼンタティブ（代表）たち\(f_1, f_2\)に依存しないことを見よう。
\(f'_1, f'_2 \in \mathcal{L}^2 (M, A, \mu, F)\)を\([f'_j] = [f_j]\)を満たす任意のものたちとしよう。
\(\int_M f'_1 \overline{f'_2} d \mu = \int_M (f'_1 - f_1 + f_1) (\overline{f'_2} - \overline{f_2} + \overline{f_2}) d \mu = \int_M (f'_1 - f_1) (\overline{f'_2} - \overline{f_2}) d \mu + \int_M (f'_1 - f_1) \overline{f_2} d \mu + \int_M f_1 (\overline{f'_2} - \overline{f_2}) + \int_M f_1 \overline{f_2} d \mu\)。
しかし、\(\vert \int_M (f'_1 - f_1) (\overline{f'_2} - \overline{f_2}) d \mu \vert \le \int_M \vert (f'_1 - f_1) (\overline{f'_2} - \overline{f_2}) \vert d \mu\)、よく知られている事実として、\(\le \Vert f'_1 - f_1 \Vert \Vert \overline{f'_2} - \overline{f_2} \Vert\)、\(1\)以上の任意のリアルナンバー（実数）または\(\infty\)である\(p\)、そのエクスポーネントコンジュゲート（指数共役）\(q\)、任意のメジャースペース（測度空間）、当該メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^p\)の任意の要素、当該メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^q\)の任意の要素に対して、当該\(2\)要素たちの絶対値たち積のルベーグインテグラル（積分）は、当該要素たちのセミノルムたちの積以下である（ヘルダーの不等式）という命題によって。
しかし、\(\Vert f'_1 - f_1 \Vert = \Vert [f'_1 - f_1] \Vert = \Vert [0] \Vert = 0\)、したがって、\(\int_M (f'_1 - f_1) (\overline{f'_2} - \overline{f_2}) d \mu = 0\)。
同様に、\(\vert \int_M (f'_1 - f_1) \overline{f_2} d \mu \vert \le \int_M \vert (f'_1 - f_1) \overline{f_2} \vert d \mu \le \Vert f'_1 - f_1 \Vert \Vert \overline{f_2} \Vert = 0\)、したがって、\(\int_M (f'_1 - f_1) \overline{f_2} d \mu = 0\)。
同様に、\(\vert \int_M f_1 (\overline{f'_2} - \overline{f_2}) d \mu \vert \le \int_M \vert f_1 (\overline{f'_2} - \overline{f_2}) \vert d \mu \le \Vert f_1 \Vert \Vert \overline{f'_2} - \overline{f_2} \Vert = \Vert f_1 \Vert \Vert \overline{f'_2 - f_2} \Vert = \Vert f_1 \Vert \Vert f'_2 - f_2 \Vert = 0\)、したがって、\(\int_M f_1 (\overline{f'_2} - \overline{f_2}) d \mu = 0\)。
したがって、\(\int_M f'_1 \overline{f'_2} d \mu = \int_M f_1 \overline{f_2} d \mu\)。
\(\langle [f_1], [f_2] \rangle\)は本当にインナープロダクト（内積）であることを見よう。
1) \((0 \le \langle [f_1], [f_1] \rangle)\) \(\land\) \((0 = \langle [f_1], [f_1] \rangle \iff [f_1] = 0)\): \(0 \le \int_M f_1 \overline{f_1} d \mu\); もしも、\(0 = \int_M f_1 \overline{f_1} d \mu\)である場合、\(0 = \Vert [f_1] \Vert\)、したがって、\([f_1] = 0\); もしも、\([f_1] = 0\)である場合、\(0 = \inf_M 0 \overline{0} d \mu\)。
2) \(\langle [f_1], [f_2] \rangle = \overline{\langle [f_2], [f_1] \rangle}\)、ここで、その上線はコンプレックスコンジュゲート（複素共役）を表わす: \(\langle [f_1], [f_2] \rangle = \int_M f_1 \overline{f_2} d \mu = \int_M \overline{\overline{f_1} f_2} d \mu = \overline{\int_M f_2 \overline{f_1} d \mu} = \overline{\langle [f_2], [f_1] \rangle}\)。
3) \(\langle r_1 [f_1] + r_2 [f_2], [f_3] \rangle = r_1 \langle [f_1], [f_3] \rangle + r_2 \langle [f_2], [f_3] \rangle\): \(\langle r_1 [f_1] + r_2 [f_2], [f_3] \rangle = \langle [r_1 f_1 + r_2 f_2], [f_3] \rangle = \int_M (r_1 f_1 + r_2 f_2) \overline{f_3} d \mu = \int_M r_1 f_1 \overline{f_3} + r_2 f_2 \overline{f_3} d \mu = r_1 \int_M f_1 \overline{f_3} d \mu + r_2 \int_M f_2 \overline{f_3} d \mu = r_1 \langle [f_1], [f_3] \rangle + r_2 \langle [f_2], [f_3] \rangle\)。
したがって、\(\langle [f_1], [f_2] \rangle\)はインナープロダクト（内積）である。
ステップ2:
\(L^2 (M, A, \mu, F)\)のノルムは当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）である、なぜなら、\(\Vert [f] \Vert = (\int_M \vert f \vert^2 d \mu)^{1 / 2} = \langle [f], [f] \rangle^{1 / 2}\)。
実のところ、本内積は、それから当該ノルムがインデュースト（誘導された）であるようなユニークな可能なインナープロダクト（内積）である、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則および任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、当該ノルムがパラレログラム（平行四辺形）法則を満たす場合、当該ノルムはこのようにユニークなインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）であるという命題によって。
ステップ3:
\(L^2 (M, A, \mu, F)\)は、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持ってコンプリート（完備）である、任意のメジャースペース（測度空間）上方の\(L^p\)はコンプリート（完備）であるという命題によって。
したがって、\(L^2 (M, A, \mu, F)\)はヒルベルトスペース（空間）である。
