メジャースペース（測度空間）上方の\(L^p\)の定義
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）上方の\(\mathcal{L}^p\)の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のベクトルたちサブスペース（部分空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）たちの束のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）マイナス当該サブセット（部分集合）たち束のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）上方の\(L^p\)の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( (M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\( \mathbb{C}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\( \mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\( F\): \(\in \{\mathbb{C}, \mathbb{R}\}\)
\( p\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(1 \le p \lt \infty\)を満たすもの
\( \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\):
\(*L^p (M, A, \mu, F)\): \(\mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) / \{f \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) \vert \Vert f \Vert = 0\}\), \(= \text{ 当該クウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間） }\)で、下に指定されるノルムを持つもの
\( \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F)\):
\(*L^\infty (M, A, \mu, F)\): \(\mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F) / \{f \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F) \vert \Vert f \Vert = 0\}\), \(= \text{ 当該クウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間） }\)で、下に指定されるノルムを持つもの
//
コンディションたち:
\(\Vert [f] \Vert = \Vert f \Vert\)
//
2: 注
これは、\(\mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)とは異なる。
\(\{f \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) \vert \Vert f \Vert = 0\}\)は本当に\(\mathcal{L}^p (M, A, \mu, F)\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）であることを見よう。
\(f_1, f_2 \in \{f \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) \vert \Vert f \Vert = 0\}\)および\(r_1, r_2 \in F\)を任意のものとしよう。
\(0 \le \Vert r_1 f_1 + r_2 f_2 \Vert \le \Vert r_1 f_1 \Vert + \Vert r_2 f_2 \Vert = \vert r_1 \vert \Vert f_1 \Vert + \vert r_2 \vert \Vert f_2 \Vert = 0\)、したがって、\(\Vert r_1 f_1 + r_2 f_2 \Vert = 0\)、したがって、\(r_1 f_1 + r_2 f_2 \in \{f \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) \vert \Vert f \Vert = 0\}\)。
したがって、\(\{f \in \mathcal{L}^p (M, A, \mu, F) \vert \Vert f \Vert = 0\}\)はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(\{f \in \mathcal{L}^\infty (M, A, \mu, F) \vert \Vert f \Vert = 0\}\)は本当にベクトルたちサブスペース（部分空間）である、同様に。
\(\Vert [f] \Vert\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\([f] = [f'] \in L^p (M, A, \mu, F) \text{ or } L^\infty (M, A, \mu, F)\)を任意のものとしよう。
\(\Vert f' \Vert = \Vert f' - f + f \Vert \le \Vert f' - f \Vert + \Vert f \Vert\)、なぜなら、それはセミノルムである、しかし、\(\Vert f' - f \Vert = 0\)、したがって、\(\Vert f' \Vert \le \Vert f \Vert\)。
同様に、\(\Vert f \Vert \le \Vert f' \Vert\)。
したがって、\(\Vert f' \Vert = \Vert f \Vert\)。
したがって、当該ノルムはウェルデファインド（妥当に定義された）である。
\(\Vert [f] \Vert\)は本当にノルムであることを見よう。
\(\forall [f_1], [f_2] \in L^p (M, A, \mu, F) \text{ or } L^\infty (M, A, \mu, F)\)および\(r \in F\)を任意のものとしよう。
1) (\(0 \le \Vert [f_1] \Vert\)) \(\land\) (\((0 = \Vert [f_1] \Vert) \iff ([f_1] = 0)\)): \(0 \le \Vert f_1 \Vert = \Vert [f_1] \Vert\); もしも、\(0 = \Vert [f_1] \Vert\)である場合、\(0 = \Vert f_1 \Vert\)、それが意味するのは、\([f_1] = 0\); もしも、\([f_1] = 0\)である場合、\([f_1] = [0]\)、そして、\(\Vert [f_1] \Vert = \Vert 0 \Vert = 0\)。
2) \(\Vert r [f_1] \Vert = \vert r \vert \Vert [f_1] \Vert\): \(\Vert r [f_1] \Vert = \Vert [r f_1] \Vert = \Vert r f_1 \Vert = \vert r \vert \Vert f_1 \Vert = \vert r \vert \Vert [f_1] \Vert\)。
3) \(\Vert [f_1] + [f_2] \Vert \le \Vert [f_1] \Vert + \Vert [f_2] \Vert\): \(\Vert [f_1] + [f_2] \Vert = \Vert [f_1 + f_2] \Vert = \Vert f_1 + f_2 \Vert \le \Vert f_1 \Vert + \Vert f_2 \Vert = \Vert [f_1] \Vert + \Vert [f_2] \Vert\)。
