トポロジカルスペース（空間）、クローズドサブセット（閉部分集合）、オープンサブセット（開部分集合）たちのディスジョイント（互いに素）セット（集合）でそのユニオン（和集合）がクローズドサブセット（閉部分集合）を包含するものに対して、クローズドサブセット（閉部分集合）と各オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）はスペース（空間）上でクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、オープンサブセット（開部分集合）たちの任意のディスジョイント（互いに素）セット（集合）でそのユニオン（和集合）が当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含するものに対して、当該クローズドサブセット（閉部分集合）と各オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該スペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{T \text{ のクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{U_j \vert j \in J\}\): \(U_j \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(j \neq j'\)を満たす各\(j, j' \in J\)に対して、\(U_j \cap U_{j'} = \emptyset\)、および、\(C \subseteq \cup_{j \in J} U_j\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J (C \cap U_j \in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(C \cap U_{j'} = C \cap (T \setminus \cup_{j \in J \setminus \{j'\}} U_j)\)であることを見、本命題を結論する。
ステップ1:
\(C \cap U_{j'} = C \cap (T \setminus \cup_{j \in J \setminus \{j'\}} U_j)\)であることを見よう。
各\(c \in C \cap U_{j'}\)に対して、\(c \in T\)、そして、各\(j \in J \setminus \{j'\}\)に対して、\(c \notin U_j\)、なぜなら、\(U_j \cap U_{j'} = \emptyset\)、したがって、\(c \notin \cup_{j \in J \setminus \{j'\}} U_j\)、したがって、\(c \in C \cap (T \setminus \cup_{j \in J \setminus \{j'\}} U_j)\)。
各\(c \in C \cap (T \setminus \cup_{j \in J \setminus \{j'\}} U_j)\)に対して、\(c \notin \cup_{j \in J \setminus \{j'\}} U_j\)、したがって、各\(j \in J \setminus \{j'\}\)に対して、\(c \notin U_j\)、したがって、\(c \in U_{j'}\)、なぜなら、\(c \in \cup_{j \in J} U_j\)、したがって、\(c \in C \cap U_{j'}\)。
したがって、\(C \cap U_{j'} = C \cap (T \setminus \cup_{j \in J \setminus \{j'\}} U_j)\)。
\(\cup_{j \in J \setminus \{j'\}} U_j\)は\(T\)上でオープン（開）であるから、\(T \setminus \cup_{j \in J \setminus \{j'\}} U_j\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、そして、\(C \cap (T \setminus \cup_{j \in J \setminus \{j'\}} U_j)\)はクローズドサブセット（閉部分集合）である、クローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）として。
したがって、\(C \cap U_{j'}\)は\(T\)上でクローズド（閉）である。
