トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトたちはホメオモーフィズム（位相同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）たちのネストされたプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちのネストされたプロダクトたちはホメオモーフィズム（位相同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{T_1, T_2, T_3\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\((T_1 \times T_2) \times T_3\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(T_1 \times (T_2 \times T_3)\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(f: (T_1 \times T_2) \times T_3 \to T_1 \times (T_2 \times T_3), ((t_1, t_2), t_3) \mapsto (t_1, (t_2, t_3))\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)は'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る; ステップ2: 各オープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T_1 \times (T_2 \times T_3)\)に対して、\(f^{-1} (U) \subseteq (T_1 \times T_2) \times T_3\)はオープン（開）であることを見る; ステップ3: 各オープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq (T_1 \times T_2) \times T_3\)に対して、\({f^{-1}}^{-1} (U) \subseteq T_1 \times (T_2 \times T_3)\)がオープン（開）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)は'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のセット（集合）たちのネストされたプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であるという命題によって。
したがって、インバース（逆）\(f^{-1}: T_1 \times (T_2 \times T_3) \to (T_1 \times T_2) \times T_3, (t_1, (t_2, t_3)) \mapsto ((t_1, t_2), t_3)\)がある。
ステップ2:
任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T_1 \times (T_2 \times T_3)\)に対して、\(U = \cup_{j \in J} (U_{1, j} \times \cup_{l \in L_j} (U_{2, j, l} \times U_{3, j, l}))\)、ここで、\(J\)および\(L_j\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たちで\(U_{m, j}\)および\(U_{m, j, l}\)の各々は\(T_m\)上のオープンサブセット（開部分集合）である、プロダクトトポロジーの定義によって。
\(f^{-1} (U) = \cup_{j \in J} \cup_{l \in L_j} ((U_{1, j} \times U_{2, j, l}) \times U_{3, j, l})\)、なぜなら、任意の\(t = ((t_1, t_2), t_3) \in f^{-1} (U)\)に対して、\(f (t) = (t_1, (t_2, t_3)) \in U\)、\(t_1 \in U_{1, j}\)および\(t_2 \in U_{2, j, l}\)および\(t_3 \in U_{3, j, l}\)、ある\(j\)およびある\(l \in L_j\)に対して、したがって、\(t \in \cup_{j \in J} \cup_{l \in L_j} ((U_{1, j} \times U_{2, j, l}) \times U_{3, j, l})\); 任意の\(t = ((t_1, t_2), t_3) \in \cup_{j \in J} \cup_{l \in L_j} ((U_{1, j} \times U_{2, j, l}) \times U_{3, j, l})\)に対して、\(t_1 \in U_{1, j}\)および\(t_2 \in U_{2, j, l}\)および\(t_3 \in U_{3, j, l}\)、ある\(j\)およびある\(l \in L_j\)に対して、\(f (t) = (t_1, (t_2, t_3)) \in U\)、したがって、\(t \in f^{-1} (U)\)。
したがって、\(f^{-1} (U)\)は\((T_1 \times T_2) \times T_3\)上でオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって。
ステップ3:
任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq (T_1 \times T_2) \times T_3\)に対して、\(U = \cup_{l \in L} (\cup_{j \in J_l} (U_{1, l, j} \times U_{2, l, j}) \times U_{3, l})\)、ここで、\(L\)および\(J_l\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たちで\(U_{m, l}\)および\(U_{m, l, j}\)の各々は\(T_m\)上のオープンサブセット（開部分集合）である、プロダクトトポロジーの定義によって。
\({f^{-1}}^{-1} (U) = f (U) = \cup_{l \in L} \cup_{j \in J_l} (U_{1, l, j} \times (U_{2, l, j} \times U_{3, l}))\)、なぜなら、任意の\(t = (t_1, (t_2, t_3)) \in {f^{-1}}^{-1} (U)\)に対して、\(f^{-1} (t) = ((t_1, t_2), t_3) \in U\)、\(t_1 \in U_{1, l, j}\)および\(t_2 \in U_{2, l, j}\)および\(t_3 \in U_{3, l}\)、ある\(l\)およびある\(j \in J_l\)に対して、したがって、\(t \in \cup_{l \in L} \cup_{j \in J_l} (U_{1, l, j} \times (U_{2, l, j} \times U_{3, l}))\); 任意の\(t = (t_1, (t_2, t_3)) \in \cup_{l \in L} \cup_{j \in J_l} (U_{1, l, j} \times (U_{2, l, j} \times U_{3, l}))\)に対して、\(t_1 \in U_{1, l, j}\)および\(t_2 \in U_{2, l, j}\)および\(t_3 \in U_{3, l}\)、ある\(l\)およびある\(j \in J_l\)に対して、\(f^{-1} (t) = ((t_1, t_2), t_3) \in U\)、したがって、\(t \in {f^{-1}}^{-1} (U)\)。
したがって、\({f^{-1}}^{-1} (U)\)は\(T_1 \times (T_2 \times T_3)\)上でオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって。
したがって、\(f\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
3: 注
"\((T_1 \times T_2) \times T_3 = T_1 \times (T_2 \times T_3)\)"のようなずさんな表現たちが広く見られるが、それら2つは同一ではなく、お互いにホメオモーフィック（位相同形写像）である。
表現\(T_1 \times T_2 \times T_3\)は許されるのは、それは、\((T_1 \times T_2) \times T_3\)として定義されているからであって、"\((T_1 \times T_2) \times T_3 = T_1 \times (T_2 \times T_3)\)"が成立するからではない。
本命題に基づいて、\(((T_1 \times T_2) \times T_3) \times T_4\)は\(T_1 \times (T_2 \times (T_3 \times T_4))\)へホメオモーフィック（位相同形写像）である等々である、なぜなら、\(((T_1 \times T_2) \times T_3) \times T_4\)は\((T_1 \times (T_2 \times T_3)) \times T_4\)へホメオモーフィック（位相同形写像）であり、それは、\(T_1 \times ((T_2 \times T_3) \times T_4)\)へへホメオモーフィック（位相同形写像）であり、それは、\(T_1 \times (T_2 \times (T_3 \times T_4))\)へホメオモーフィック（位相同形写像）である。
