ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中への値バウンデッド（有界）マップ（写像）たちのユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、コンバージェンス（収束ポイント）は値バウンデッド（有界）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）でインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つものの中への任意の値バウンデッド（有界）マップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、当該コンバージェンス（収束ポイント）は値バウンデッド（有界）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(s\): \(: J \to \{g: S \to M\}\), \(\in \{\text{ 全てのユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\forall j \in J (s (j) \in \{\text{ 全ての値バウンデッド（有界）マップ（写像）たち }\})\)
\(f\): \(= lim s\), \(: S \to M\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての値バウンデッド（有界）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s (j)\)の任意の値バウンド（上限）を\(L_j\)とし、任意の\(\epsilon\)および以下を満たす\(N\)、つまり、各\(N \lt j\)に対して、各\(p \in S\)に対して、\(\Vert f (p) - s (j) (p) \Vert \lt \epsilon\)、を取る; ステップ2: \(\Vert f (p) \Vert \le \Vert f (p) - s (j) (p) \Vert + \Vert s (j) (p) \Vert \lt \epsilon + L_j\)であることを見る。
ステップ1:
各\(j \in J\)に対して、以下を満たすある\(L_j \in \mathbb{R}\)、つまり、各\(p \in S\)に対して、\(\Vert s (j) (p) \Vert \lt L_j\)、がある、なぜなら、\(s (j)\)は値バウンデッド（有界）である。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N \in J\)、つまり、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in J\)に対して、各\(p \in S\)に対して、\(\Vert f (p) - s (j) (p) \Vert \lt \epsilon\)、なぜなら、\(f\)は\(s\)のユニフォーム（一様）コンバージェンス（収束ポイント）である。
ステップ2:
任意のそうした\(j\)に対して、各\(p \in S\)に対して、\(\Vert f (p) \Vert = \Vert f (p) - s (j) (p) + s (j) (p) \Vert \le \Vert f (p) - s (j) (p) \Vert + \Vert s (j) (p) \Vert \lt \epsilon + L_j\)。
したがって、任意の\(\epsilon\)および任意のそうした\(j\)に対して、\(\epsilon + L_j\)は\(\Vert f (p) \Vert\)のアッパーバウンド（上限）である。
したがって、\(f\)は値バウンデッド（有界）である。
