ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）に対するランク（階数）-ヌリティ（退化次数）法則の記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のランク（階数）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のヌリティ（退化次数）を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、全てのベーシス（基底）たちは同一カーディナリティを持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）に対するランク（階数）-ヌリティ（退化次数）法則の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Dim (V_1) = Rank (f) + Nullity (f)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (V_1)\)に対する任意のベーシス（基底）\((f (v_{1, 1}) = b_{2, 1}, ..., f (v_{1, r}) = b_{2, r})\)および\(Ker (f)\)に対する任意のベーシス（基底）\((b_{1, 1}, ..., b_{1, k})\)を取る; ステップ2: \((b_{1, 1}, ..., b_{1, k}, v_{1, 1}, ..., v_{1, r})\)は\(V_1\)に対するベーシス（基底）であることを見る。
ステップ1:
\(f (V_1)\)に対する任意のベーシス（基底）\((f (v_{1, 1}) = b_{2, 1}, ..., f (v_{1, r}) = b_{2, r})\)を取ろう: \(b_{2, j}\)への\(v_{1, j}\)に対して複数のオプションたちがあるかもしれないが、それらオプションたちの任意のものを選択する。
\(Ker (f)\)に対する任意のベーシス（基底）\((b_{1, 1}, ..., b_{1, k})\)を取ろう。
ステップ2:
\((b_{1, 1}, ..., b_{1, k}, v_{1, 1}, ..., v_{1, r})\)は\(V_1\)に対するベーシス（基底）であることを見よう。
\(r^1 b_{1, 1} + ... + r^k b_{1, k} + s^1 v_{1, 1} + ... + s^r v_{1, r} = 0\)、ここで、\(r^j, s^j \in F\)、としよう。
\(f (r^1 b_{1, 1} + ... + r^k b_{1, k} + s^1 v_{1, 1} + ... + s^r v_{1, r}) = f (0) = 0\)。
\(= r^1 f (b_{1, 1}) + ... + r^k f (b_{1, k}) + s^1 f (v_{1, 1}) + ... + s^r f (v_{1, r}) = r^1 0 + ... + r^k 0 + s^1 b_{2, 1} + ... + s^r b_{2, r}\)。
それが含意するのは、\(s^1 = ... = s^r = 0\)。
したがって、\(r^1 b_{1, 1} + ... + r^k b_{1, k} = 0\)。
それが含意するのは、\(r^1 = ... = r^k = 0\)。
したがって、\((b_{1, 1}, ..., b_{1, k}, v_{1, 1}, ..., v_{1, r})\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である。
\(v \in V_1\)を任意のものとしよう。
\(f (v) = c^1 b_{2, 1} + ... c^r b_{2, r}\)。
\(v - (c^1 v_{1, 1} + ... + c^r v_{1, r}) \in Ker (f)\)、なぜなら、\(f (v - (c^1 v_{1, 1} + ... + c^r v_{1, r})) = f (v) - (c^1 f (v_{1, 1}) + ... + c^r f (v_{1, r})) = f (v) - (c^1 b_{2, 1} + ... + c^r b_{2, r}) = 0\)。
したがって、\(v - (c^1 v_{1, 1} + ... + c^r v_{1, r}) = d^1 b_{1, 1} + ... d^k b_{1, k}\)。
したがって、\(v = d^1 b_{1, 1} + ... d^k b_{1, k} + c^1 v_{1, 1} + ... + c^r v_{1, r}\)。
したがって、\((b_{1, 1}, ..., b_{1, k}, v_{1, 1}, ..., v_{1, r})\)は\(V_1\)をスパン（張る）する。
したがって、\((b_{1, 1}, ..., b_{1, k}, v_{1, 1}, ..., v_{1, r})\)は\(V_1\)に対するベーシス（基底）である。
任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、全てのベーシス（基底）たちは同一カーディナリティを持つという命題によって、\(Dim (V_1) = Rank (f) + Nullity (f)\)。
