フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(q\)個の同一ベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するシンメトリック（対称）-テンソルたちスペース（空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(q\)個の同一ベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するシンメトリック（対称）-テンソルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V, W\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( L (V, ..., V: W)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)、ここで、\(V\)は\(q\)回現われる
\(*\Sigma_q (V: W)\): \(= \{t \in L (V, ..., V: W) \vert t \in \{\text{ 全てのシンメトリック（対称）-テンソルたち }\}\}\)、\(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
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コンディションたち:
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\(\Sigma_q (V: W)\)は、"\(V\)の\(W\)の中への\(q\)-シンメトリック（対称）-テンソルたちスペース（空間）"と呼ばれる。
\(\Sigma_q (V: F)\)は、"\(V\)の\(q\)-シンメトリック（対称）-テンソルたちスペース（空間）"と呼ばれる。
\(\Sigma_q (V: F)\)の任意の要素は、"\(q\)-シンメトリック（対称）-テンソル"と呼ばれる。
2: 注
シンメトリック（対称）であることが意味するのは、任意の\(\sigma \in S^q\)、ここで、\(S^q\)は\(q\)-シンメトリックグループ（対称群）、に対して、\(t (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q}) = t (v_1, ..., v_q)\)であること。
全ての\(\{V_1, ..., V_q\}\)たちが同一\(V\)であると要求されている、なぜなら、そうでなければ、\(t (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q})\)は意味をなさないことになる。
\(\Sigma_q (V: W)\)は本当に\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
1) 任意の要素\(t_1, t_2 \in \Sigma_q (V: W)\)に対して、\(t_1 + t_2 \in \Sigma_q (V: W)\)（アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: \(t_1 + t_2 \in L (V, ..., V: W)\)、なぜなら、\(t_j \in L (V, ..., V: W)\)および\(L (V, ..., V: W)\)は\(F\)ベクトルたちスペース（空間）である; \((t_1 + t_2) (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q}) = t_1 (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q}) + t_2 (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q}) = t_1 (v_1, ..., v_q) + t_2 (v_1, ..., v_q) = (t_1 + t_2) (v_1, ..., v_q)\)。
2) 任意の要素たち\(t_1, t_2 \in \Sigma_q (V: W)\)に対して、\(t_1 + t_2 = t_2 + t_1\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)上で成立する。
3) 任意の要素たち\(t_1, t_2, t_3 \in \Sigma_q (V: W)\)に対して、\((t_1 + t_2) + t_3 = t_1 + (t_2 + t_3)\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)上で成立する。
4) 以下を満たすある0要素\(0 \in \Sigma_q (V: W)\)、つまり、任意の\(t \in \Sigma_q (V: W)\)に対して、\(t + 0 = t\)、がある（0要素の存在）: \(0\)マップ（写像）\(t_0 \in L (V, ..., V: W)\)は\(\Sigma_q (V: W)\)内にある、なぜなら、\(t_0 (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q}) = 0 = t_0 (v_1, ..., v_q)\)、そして、\(t + 0 = t\)は成立する、なぜなら、それは、周囲\(L (V, ..., V: W)\)上で成立する。
5) 任意の要素\(t \in \Sigma_q (V: W)\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(t' \in \Sigma_q (V: W)\)、つまり、\(t' + t = 0\)、がある（インバース（逆）要素の存在）: \(t' := - t \in L (V, ..., V: W)\); \((- t) (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q}) = - (t (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q})) = - t (v_1, ..., v_q) = (- t) (v_1, ..., v_q)\)、したがって、\(- t \in \Sigma_q (V: W)\); \(- t + t = 0\)は成立する、なぜなら、それは、周囲\(L (V, ..., V: W)\)上で成立する。
6) 任意の要素\(t \in \Sigma_q (V: W)\)および任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . t \in \Sigma_q (V: W)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: \(r . t \in L (V, ..., V: W)\); \(r . t (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q}) = r (t (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_q})) = r (t (v_1, ..., v_q)) = (r . t) (v_1, ..., v_q)\)、それが意味するのは、\(r . t \in \Sigma_q (V: W)\)。
7) 任意の要素\(t \in \Sigma_q (V: W)\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . t = r_1 . t + r_2 . t\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)上で成立する。
8) 任意の要素たち\(t_1, t_2 \in \Sigma_q (V: W)\)および任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . (t_1 + t_2) = r . t_1 + r . t_2\)（要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)上で成立する。
9) 任意の要素\(t \in \Sigma_q (V: W)\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . t = r_1 . (r_2 . t)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)上で成立する。
10) 任意の要素\(t \in \Sigma_q (V: W)\)に対して、\(1 . t = t\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)上で成立する。
