セット（集合）たち間マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）とドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）のイメージ（像）は、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）とドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のイメージ（像）のインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）たち間任意のマップ（写像）に対して、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）と任意のドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）と当該ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のイメージ（像）のインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_{2, j} \subseteq S_2 \vert j \in J\}\):
\(S^`_1\): \(\subseteq S_1\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j}) \cap S^`_1) = \cap_{j \in J} S_{2, j} \cap f (S^`_1)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j}) \cap S^`_1) = f (f^{-1} (S^`_2) \cap S^`_1)\)、ここで、\(S^`_2 := \cap_{j \in J} S_{2, j}\)、であることを見る; ステップ2: \(f (f^{-1} (S^`_2) \cap S^`_1) = S^`_2 \cap f (S^`_1)\)であることを見る。
ステップ1:
\(\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j}) = f^{-1} (\cap_{j \in J} S_{2, j})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
\(S^`_2 := \cap_{j \in J} S_{2, j}\)としよう。
\(f (\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j}) \cap S^`_1) = f (f^{-1} (\cap_{j \in J} S_{2, j}) \cap S^`_1) = f (f^{-1} (S^`_2) \cap S^`_1)\)。
ステップ2:
\(f (f^{-1} (S^`_2) \cap S^`_1) = S^`_2 \cap f (S^`_1)\)であることを見よう。
\(s \in f (f^{-1} (S^`_2) \cap S^`_1)\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(s' \in f^{-1} (S^`_2) \cap S^`_1\)、つまり、\(f (s') = s\)、がある。
\(s' \in f^{-1} (S^`_2)\)であるから、\(s = f (s') \in S^`_2\)。
\(s' \in S^`_1\)であるから、\(s = f (s') \in f (S^`_1)\)。
したがって、\(s \in S^`_2 \cap f (S^`_1)\)。
\(s \in S^`_2 \cap f (S^`_1)\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(s' \in S^`_1\)、つまり、\(f (s') = s\)、がある。
\(s = f (s') \in S^`_2\)であるから、\(s' \in f^{-1} (S^`_2)\)。
したがって、\(s' \in f^{-1} (S^`_2) \cap S^`_1\)、そして、\(s = f (s') \in f (f^{-1} (S^`_2) \cap S^`_1)\)。
したがって、\(f (f^{-1} (S^`_2) \cap S^`_1) = S^`_2 \cap f (S^`_1)\)。
