セット（集合）たち間マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のイメージ（像）は、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）とマップ（写像）レンジ（値域）のインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）たち間任意のマップ（写像）に対して、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）サブセット（部分集合）と当該マップ（写像）レンジ（値域）のインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
\(S^`_2\): \(\subset S_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (f^{-1} (S^`_2)) = S^`_2 \cap f (S_1)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のセット（集合）たち間任意のマップ（写像）に対して、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）と任意のドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）と当該ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のイメージ（像）のインターセクション（共通集合）であるという命題を適用する。
ステップ1:
任意のセット（集合）たち間任意のマップ（写像）に対して、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）と任意のドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）と当該ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のイメージ（像）のインターセクション（共通集合）であるという命題に対して、\(\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j})\)を\(f^{-1} (S^`_2)\)と取ることができ、ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）を\(S_1\)と取ることができる、すると、\(f (f^{-1} (S^`_2) \cap S_1) = S^`_2 \cap f (S_1)\)、しかし、\(f (f^{-1} (S^`_2) \cap S_1) = f (f^{-1} (S^`_2))\)。
