メトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジー上のコーシーシーケンス（列）は最大\(1\)個のアキュームレーションバリュー（集積値）を持つことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列）の定義を知っている。
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジー上の任意のコーシーシーケンス（列）は最大\(1\)個のアキュームレーションバリュー（集積値）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(s\): \(: \mathbb{N} \to M\), \(\in \{\text{ 全てのコーシーシーケンス（列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\vert \{s \text{ の全てのアキュームレーションバリュー（集積値）たち }\} \vert \le 1\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(2\)個のアキュームレーションバリュー（集積値）たち\(m, m' \in M\)があったと仮定し、ある矛盾を見つける。
ステップ1:
何らか\(2\)個のアキュームレーションバリュー（集積値）たち\(m, m' \in M\)で\(m \neq m'\)を満たすものたちがあったと仮定しよう。
\(d := dist (m, m')\)、ここで、\(0 \lt d\)。
オープンボール（開球）たち\(B_{m, d / 3}\)および\(B_{m', d / 3}\)があることになる、それらは、\(m\)および\(m'\)のネイバーフッド（近傍）たちである。
以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(n \lt j, l\)を満たす各\(j, l \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (s (j), s (l)) \lt d / 3\)、があることになる、なぜなら、\(s\)はコーシーであった。
以下を満たすある\(j \in \mathbb{N}\)、つまり、\(n \lt j\)および\(s (j) \in B_{m, d / 3}\)、があることになる、なぜなら、\(m\)はアキュームレーションバリュー（集積値）であった。
\(n \lt l\)を満たす各\(l \in \mathbb{N}\)に対して、\(d = dist (m', m) \le dist (m', s (l)) + dist (s (l), m)\)、したがって、\(d - dist (s (l), m) \le dist (m', s (l))\)。
\(dist (s (l), m) \leq dist (s (l), s (j)) + dist (s (j), m) \lt d / 3 + d / 3 = (2 / 3) d\)。
\(d - (2 / 3) d = 1 / 3 d \lt dist (m', s (l))\)。
したがって、\(s (l) \notin B_{m', d / 3}\)。
したがって、\(m'\)はアキュームレーションバリュー（集積値）でないことになる、矛盾。
