セット（集合）たち間マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）のイメージ（像）は、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのイメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）たち間任意のマップ（写像）に対して、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのイメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_{2, j} \subseteq S_2 \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j})) = \cap_{j \in J} f (f^{-1} (S_{2, j}))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j})) \subseteq \cap_{j \in J} f (f^{-1} (S_{2, j}))\)であることを見る; ステップ2: \(\cap_{j \in J} f (f^{-1} (S_{2, j})) \subseteq f (\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j}))\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(s \in f (\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j}))\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(s' \in \cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j})\)、つまり、\(f (s') = s\)、がある。
\(s' \in f^{-1} (S_{2, j})\)、各\(j \in J\)に対して。
\(s = f (s') \in f (f^{-1} (S_{2, j}))\)、各\(j\)に対して。
したがって、\(s \in \cap_{j \in J} f (f^{-1} (S_{2, j}))\)。
したがって、\(f (\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j})) \subseteq \cap_{j \in J} f (f^{-1} (S_{2, j}))\)。
ステップ2:
\(s \in \cap_{j \in J} f (f^{-1} (S_{2, j}))\)を任意のものとしよう。
\(s \in f (f^{-1} (S_{2, j}))\)、各\(j \in J\)に対して。
\(l \in J\)を任意の固定されたものとしよう。
\(s \in f (f^{-1} (S_{2, l}))\)であるから、以下を満たすある\(s' \in f^{-1} (S_{2, l})\)、つまり、\(f (s') = s\)、がある。
\(m \in J\)を任意のものとしよう。
\(s = f (s') \in f (f^{-1} (S_{2, m}))\)。
したがって、\(s' \in f^{-1} (f (f^{-1} (S_{2, m})))\)。
しかし、\(f (f^{-1} (S_{2, m})) \subseteq S_{2, m}\)。
したがって、\(f^{-1} (f (f^{-1} (S_{2, m}))) \subseteq f^{-1} (S_{2, m})\)。
\(s' \in f^{-1} (f (f^{-1} (S_{2, m}))) \subseteq f^{-1} (S_{2, m})\)。
したがって、\(s' \in \cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j})\)。
したがって、\(s = f (s') \in f (\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j}))\)。
したがって、\(\cap_{j \in J} f (f^{-1} (S_{2, j})) \subseteq f (\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j}))\)。
ステップ3:
したがって、\(f (\cap_{j \in J} f^{-1} (S_{2, j})) = \cap_{j \in J} f (f^{-1} (S_{2, j}))\)。
