ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもののデンスサブセット（密部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのセルフアジョイントリニアマップ（線型写像）に対して、もしも、マップ（写像）がサージェクティブ（全射）である場合、マップ（写像）はバイジェクティブ（全単射）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもののデンス（密）サブセット（部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）のアジョイントマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの任意のデンスサブセット（密部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）のアジョイントのカーネル（核）は当該マップ（写像）のレンジ（値域）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリニア（線形）マップ（写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、そのカーネル（核）は\(0\)-サブスペース（部分空間）である場合、そして、その場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの任意のデンスサブセット（密部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のセルフアジョイントリニアマップ（線型写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）がサージェクティブ（全射）である場合、当該マップ（写像）はバイジェクティブ（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{H}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）を持ち、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全てのデンスサブスペース（密部分集合）たち }\}\)
\(f\): \(: V \to V'\)で、\(f^* = f\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのサージェクション（全射）たち }\}\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
2: 注
\(V\)はあるベクトルたちサブスペース（部分空間）である必要がある、単なるサブセット（部分集合）ではなく、なぜなら、そうでなければ、リニア（線形）であるということが意味をなさないことになる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Ker (f^*) = (Ran (f))^\perp\)であることを見る; ステップ2: \(Ker (f^*) = Ker (f)\)および\((Ran (f))^\perp = \{0\}\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(Ker (f^*) = (Ran (f))^\perp\)、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの任意のデンスサブセット（密部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）のアジョイントのカーネル（核）は当該マップ（写像）のレンジ（値域）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）であるという命題によって。
ステップ2:
\(Ker (f^*) = Ker (f)\)、仮定によって。
\((Ran (f))^\perp = \{0\}\)、なぜなら、\((Ran (f))^\perp = V^\perp\)、そして、各\(v \in V^\perp\)に対して、各\(v' \in V\)に対して、\(\langle v, v' \rangle = 0\)、特に、\(\langle v, v \rangle = 0\)、それが含意するのは、\(v = 0\)。
ステップ3:
したがって、\(Ker (f) = \{0\}\)。
したがって、\(f\)はインジェクティブ（単射）である、任意のリニア（線形）マップ（写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、そのカーネル（核）は\(0\)-サブスペース（部分空間）である場合、そして、その場合に限って、という命題によって。
したがって、\(f\)はバイジェクティブ（全単射）である。
