ユニタリマトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）はユニタリであることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、コンプレックス（複素）マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のエルミートコンジュゲート（共役）は当該マトリックス（行列）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユニタリマトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）はユニタリであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)
\(M^*\): \(= M \text{ のエルミートコンジュゲート（共役） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(M^* \in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \({M^*}^* = M\)であることを見る; ステップ2: \({M^*}^* = {M^*}^{-1}\)であることを見る。
ステップ1:
\({M^*}^* = M\)、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のエルミートコンジュゲート（共役）は当該マトリックス（行列）であるという命題によって。
ステップ2:
\({M^*}^* M^* = M M^* = I\)、なぜなら、\(M\)はユニタリである。
\(M^* {M^*}^* = M^* M = I\)、なぜなら、\(M\)はユニタリである。
したがって、\({M^*}^* = {M^*}^{-1}\)。
したがって、\(M^*\)はユニタリである。
