ローカルホメオモーフィズム（位相同形写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ローカルホメオモーフィズム（位相同形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのローカルホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(t \in T_1\)および\(f (t)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{f (t)}\)を取る; ステップ2: 以下を満たす、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t\)および\(f (t)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (t)}\)、つまり、\(f \vert_{U_t}: U_t \to U_{f (t)}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、を取る; ステップ3: \({f \vert_{U_t}}^{-1} (U'_{f (t)} \cap U_{f (t)})\)は\(t\)の\(T_1\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(f ({f \vert_{U_t}}^{-1} (U'_{f (t)} \cap U_{f (t)})) \subseteq U'_{f (t)}\)であることを見る。
ステップ1:
\(t \in T_1\)を任意のものとしよう。
\(U'_{f (t)} \subseteq T_2\)を\(f (t)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
見る必要があることは、\(t\)の\(T_1\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）でその\(f\)下のイメージ（像）が\(U'_{f (t)}\)内に包含されているものがあることである。
ステップ2:
以下を満たす、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T_1\)および\(f (t)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (t)} \subseteq T_2\)、つまり、\(f \vert_{U_t}: U_t \to U_{f (t)}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、がある。
ステップ3:
\(U'_{f (t)} \cap U_{f (t)} \subseteq U_{f (t)}\)は\(f (t)\)の\(U_{f (t)}\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
したがって、\({f \vert_{U_t}}^{-1} (U'_{f (t)} \cap U_{f (t)}) \subseteq U_t\)は\(t\)の\(U_t\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、それは、\(T_1\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(f ({f \vert_{U_t}}^{-1} (U'_{f (t)} \cap U_{f (t)})) = f \vert_{U_t} ({f \vert_{U_t}}^{-1} (U'_{f (t)} \cap U_{f (t)})) = U'_{f (t)} \cap U_{f (t)} \subseteq U'_{f (t)}\)。
