サージェクティブ（全射）ローカルホメオモーフィズム（位相同形写像）（特にカバリングマップ（写像））はクウォシェント（商）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
- 読者は、ローカルホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ローカルホメオモーフィズム（位相同形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、当該マップ（写像）が引数サブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のローカルホメオモーフィズム（位相同形写像）はオープン（開）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のサージェクティブ（全射）ローカルホメオモーフィズム（位相同形写像）（特に任意のカバリングマップ（写像））はクウォシェント（商）マップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのサージェクティブ（全射）ローカルホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのクウォシェント（商）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: 以下を満たす任意のサブセット（部分集合）\(S_2 \subseteq T_2\)、つまり、\(f^{-1} (S_2) \subseteq T_1\)はオープン（開）である、を取る; ステップ3: \(S_2 = f \circ f^{-1} (S_2)\)であることを見る; ステップ4: \(f\)はオープン（開）であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f\)はコンティニュアス（連続）である、ローカルホメオモーフィズム（位相同形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
ステップ2:
\(S_2 \subseteq T_2\)を以下を満たす任意のサブセット（部分集合）、つまり、\(f^{-1} (S_2) \subseteq T_1\)はオープン（開）である、としよう。
ステップ3:
\(S_2 = f \circ f^{-1} (S_2)\)、任意のセット（集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、当該マップ（写像）が引数サブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である場合、という命題によって: \(f\)はサージェクティブ（全射）である。
ステップ4:
\(f\)はオープン（開）である、任意のローカルホメオモーフィズム（位相同形写像）はオープン（開）であるという命題によって。
ステップ5:
ステップ3およびステップ4によって、\(S_2\)は\(T_2\)上でオープン（開）である。
したがって、\(f\)はクウォシェント（商）マップ（写像）である。
