トポロジカルスペース（空間）のファイナイト（有限）数コンパクトサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）数コンパクトサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq T \vert j \in J\}\): \(S_j \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \cup_{j \in J} S_j\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)の任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U_{j'} \vert j' \in J'\}\)を取り、各\(j \in J\)に対して、\(S_j\)に対するあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_{j'} \vert j' \in J'_j\}\)を取り、\(\{U_{j'} \vert j' \in \cup_{j \in J} J'_j\}\)は\(S\)に対するあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）であることを見る。
\(\{U_{j'} \subseteq T \vert j' \in J'\}\)、ここで、\(J'\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、を\(S\)の任意のオープンカバー（開被覆）としよう。
各\(j \in J\)に対して、\(\{U_{j'} \vert j' \in J'\}\)は\(S_j\)のオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、\(S_j \subseteq S\)。
\(S_j\)はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_{j'} \vert j' \in J'_j\}\)、ここで、\(J'_j\)はファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、がある。
\(\{U_{j'} \vert j' \in \cup_{j \in J} J'_j\}\)は\(S\)に対するあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）である、なぜなら、\(S \subseteq \cup_{j' \in \cup_{j \in J} J'_j} U_{j'} = \cup_{j \in J} \cup_{j' \in J'_j} U_{j'}\)、なぜなら、各\(s \in S\)に対して、ある\(S_j\)に対して\(s \in S_j\)、そして、\(s \in S_j \subseteq \cup_{j' \in J'_j} U_{j'} \subseteq \cup_{j \in J} \cup_{j' \in J'_j} U_{j'}\)、そして、\(\cup_{j \in J} J'_j\)はファイナイト（有限）である。
したがって、\(S\)はコンパクトである。
