セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はファーストカウンタブル（可算）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はファーストカウンタブル（可算）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B = \{U_j \vert j \in J\}\)を任意のカウンタブル（可算）ベーシス（基底）とし、各\(t \in T\)に対して、\(\{U_j \in B \vert t \in U_j\}\)を取り、それは、\(t\)におけるあるカウンタブル（可算）ネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることを見る。
ステップ1:
\(B = \{U_j \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)はあるカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）、を任意のカウンタブル（可算）ベーシス（基底）としよう。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(B_t := \{U_j \in B \vert t \in U_j\}\)を取ろう。
\(B_t\)は、\(t\)のいくつかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのあるセット（集合）である。
\(t\)の各ネイバーフッド（近傍）\(N'_t \subseteq T\)に対して、以下を満たすある\(U_j \in B\)、つまり、\(t \in U_j \subseteq N'_t\)、がある、なぜなら、\(B\)はあるベーシス（基底）である、しかし、\(U_j \in B_t\)。
したがって、\(B_t\)は、\(t\)におけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である。
\(B_t\)はカウンタブル（可算）である、なぜなら、それは、カウンタブル（可算）\(B\)のあるサブセット（部分集合）である。
したがって、各\(t \in T\)は、\(t\)においてあるカウンタブル（可算）ネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）を持つ。
したがって、\(T\)はファーストカウンタブル（可算）である。
