トポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのカウンタブル（可算）コンパクト性は、サブスペース（部分空間）としてのカウンタブル（可算）コンパクト性に等しいことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のカウンタブル（可算）にコンパクトなサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、カウンタブル（可算）にコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのカウンタブル（可算）コンパクト性は、当該サブスペース（部分空間）としてのカウンタブル（可算）コンパクト性に等しいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)で、当該サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{\text{ トポロジカルスペース（空間）たちの全てのカウンタブル（可算）にコンパクトなサブセット（部分集合）たち }\}\)
\(\iff\)
\(S \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）にコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)は\(T\)のあるカウンタブル（可算）にコンパクトなサブセット（部分集合）であると仮定する; ステップ2: 当該サブスペース（部分空間）としての\(S\)は、あるカウンタブル（可算）にコンパクトなトポロジカルスペース（空間）であることを見る; ステップ3: 当該サブスペース（部分空間）としての\(S\)は、あるカウンタブル（可算）にコンパクトなトポロジカルスペース（空間）であると仮定しよう; ステップ4: \(S\)は、\(T\)のあるカウンタブル（可算）にコンパクトなサブセット（部分集合）であることを見る。
ステップ1:
\(S\)、\(T\)のあるカウンタブル（可算）にコンパクトなサブセット（部分集合）であると仮定しよう。
ステップ2:
当該サブスペース（部分空間）としての\(S\)は、あるカウンタブル（可算）にコンパクトなトポロジカルスペース（空間）であることを見よう。
\(\{U_j \subseteq S \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)は任意のカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）、を、当該サブスペース（部分空間）としての\(S\)の任意のカウンタブル（可算）オープンカバー（開被覆）としよう。
\(U_j = U'_j \cap S\)、ここで、\(U'_j \subseteq T\)は\(T\)のあるオープンサブセット（開部分集合）、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\(\{U'_j \subseteq T \vert j \in J\}\)は、\(S\)のあるカウンタブル（可算）オープンカバー（開被覆）である: \(S = \cup_{j \in J} U_j\)であるから、\(S \subseteq \cup_{j \in J} U'_j\)、なぜなら、\(U_j \subseteq U'_j\)。
\(S\)はカウンタブル（可算）にコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U'_j \subseteq T \vert j \in J^`\}\)、ここで、\(J^` \subset J\)はあるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、がある。
すると、\(\{U_j \subseteq S \vert j \in J^`\}\)は、当該トポロジカルサブスペース（部分空間）としての\(S\)のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）である、なぜなら、\(\cup_{j \in J^`} U_j = S\)、なぜなら、\(S \subseteq \cup_{j \in J^`} U'_j\)から、\(S \cap S \subseteq (\cup_{j \in J^`} U'_j) \cap S = \cup_{j \in J^`} (U'_j \cap S)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{j \in J^`} U_j \subseteq S\)、しかし、左辺は、\(S\)である、したがって、\(S \subseteq \cup_{j \in J^`} U_j \subseteq S\)。
したがって、当該サブスペース（部分空間）としての\(S\)は、あるカウンタブル（可算）にコンパクトトポロジカルスペース（空間）である。
ステップ3:
当該サブスペース（部分空間）としての\(S\)は、あるカウンタブル（可算）にコンパクトトポロジカルスペース（空間）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(S\)は\(T\)のあるカウンタブル（可算）コンパクトサブセット（部分集合）であることを見よう。
\(\{U'_j \subseteq T \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)は任意のカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）、を\(S\)の任意のカウンタブル（可算）オープンカバー（開被覆）としよう。
\(U_j := U'_j \cap S\)は、トポロジカルサブスペース（部分空間）としての\(S\)のあるオープンサブセット（開部分集合）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\(\{U_j \subseteq S \vert j \in J\}\)は、トポロジカルサブスペース（部分空間）としての\(S\)のあるカウンタブル（可算）オープンカバー（開被覆）である、なぜなら、\(\cup_{j \in J} U_j = S\)、なぜなら、\(S \subseteq \cup_{j \in J} U'_j\)から、\(S \cap S \subseteq (\cup_{j \in J} U'_j) \cap S = \cup_{j \in J} (U'_j \cap S)\)、前と同様、\(= \cup_{j \in J} U_j \subseteq S\)、しかし、左辺は\(S\)である、したがって、\(S \subseteq \cup_{j \in J} U_j \subseteq S\)。
当該トポロジカルサブスペース（部分空間）としての\(S\)はカウンタブル（可算）にコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_j \subseteq S \vert j \in J^`\}\)、ここで、\(J^` \subseteq J\)はあるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、がある。
すると、\(\{U'_j \subseteq T \vert j \in J^`\}\)は、\(S\)のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）である、なぜなら、\(S \subseteq \cup_{j \in J^`} U'_j\)、なぜなら、\(S = \cup_{j \in J^`} U_j\)および\(U_j \subseteq U'_j\)。
したがって、\(S\)は、\(T\)のあるカウンタブル（可算）コンパクトサブセット（部分集合）である。
