ユークリディアンセット（集合）に対して、\(2\)ポイントたちに対して、ポイントたちのコンポーネントたちの絶対差たちの合計を取ることはメトリック（計量）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアンセット（集合）に対して、各\(2\)個のポイントたちに対して、当該ポイントたちのコンポーネントたちの絶対差たちの合計を取ることはあるメトリック（計量）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンセット（集合） }\)
\(f\): \(: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}, (r_1, r_2) \mapsto \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {r_1}^j - {r_2}^j \vert\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\mathbb{R}^d \text{ 上の全てのメトリック（計量）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はあるメトリック（計量）であるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(f\)はあるメトリック（計量）であるためのコンディションたちを満たすことを見よう。
\(r_1, r_2, r_3 \in \mathbb{R}^d\)を任意のものとしよう。
1) \(0 \le f (r_1, r_2)\)および\(f (r_1, r_2) = 0\)、もしも、\(r_1 = r_2\)である場合、そしてその場合に限って: \(0 \le \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {r_1}^j - {r_2}^j \vert\); もしも、\(f (r_1, r_2) = 0\)である場合、\({r_1}^j - {r_2}^j = 0\)、各\(j\)に対して、それが含意するのは、\(r_1 = r_2\); もしも、\(r_1 = r_2\)である場合、\({r_1}^j - {r_2}^j = 0\)、各\(j\)に対して、それが含意するのは、\(f (r_1, r_2) = 0\)。
2) \(f (r_1, r_2) = f (r_2, r_1)\): \(f (r_1, r_2) = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {r_1}^j - {r_2}^j \vert = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {r_2}^j - {r_1}^j \vert = f (r_2, r_1)\)。
3) \(f (r_1, r_3) \le f (r_1, s_2) + f (r_2, r_3)\): \(f (r_1, r_3) = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {r_1}^j - {r_3}^j \vert = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {r_1}^j - {r_2}^j + {r_2}^j - {r_3}^j \vert \le \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {r_1}^j - {r_2}^j \vert + \vert {r_2}^j - {r_3}^j \vert = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {r_1}^j - {r_2}^j \vert + \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert {r_2}^j - {r_3}^j \vert = f (r_1, s_2) + f (r_2, r_3)\)。
