インフィニット（無限）シーケンス（列）に対して、サブシーケンス（部分列）はインフィニット（無限）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シーケンス（列）のサブシーケンス（部分列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインフィニット（無限）シーケンス（列）に対して、任意のサブシーケンス（部分列）はインフィニット（無限）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、\(dom s = J\)、ここで、\(J \in \{\text{ 全てのインフィニット（無限）セット（集合）たち }\}\)、を持つもの
\(s^`\): \(= s \circ f\), \(\in \{s \text{ の全てのサブシーケンス（部分列）たち }\}\)で、\(dom s^` = J^`\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(J^` \in \{\text{ 全てのインフィニット（無限）セット（集合）たち }\}\)
//
2: 注
このことは、シーケンス（列）のサブシーケンス（部分列）の私たちの定義がゆえである、それは、\(\forall j \in J (\exists j^` \in J^` (j \le f (j^`)))\)を要求する: 例えば、\((s_0, s_1, ...)\)に対して、\((s_0, s_1)\)は、"サブシーケンス（部分列）"とは呼ばれない、私たちの定義によれば。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(J^` = \{j_1, ..., j_n\}\)であると仮定し、ある矛盾を見つける。
ステップ1:
\(J^`\)はファイナイト（有限）\(= \{j_1, ..., j_n\}\)、昇順、であったと仮定しよう。
\(f (j_n) \in J \subseteq \mathbb{N}\)。
\(J\)はインフィニット（無限）であったから、以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(f (j_n) \lt j\)、があることになる。
しかし、以下を満たす\(j^` \in J^`\)、つまり、\(j \le f (j^`)\)、は無いことになる、なぜなら、\(f (j_n) \lt j\)であった一方で、\(l \lt n\)を満たす各\(j_l \in J^`\)に対して、\(f (j_l) \lt f (j_n) \lt j\)、\(s^`\)があるサブシーケンス（部分列）であったことに反する矛盾。
したがって、\(J^`\)はインフィニット（無限）である。
