インフィニット（無限）シーケンス（列）は、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）からのシーケンス（列）によって忠実に代表することができることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シーケンス（列）の定義を知っている。
- 読者は、ウェルオーダードセット（整列集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインフィニット（無限）シーケンス（列）は、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）からの対応するシーケンス（列）によって忠実に代表することができるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、\(dom s = J\)、ここで、\(J \in \{\text{ 全てのインフィニット（無限）セット（集合）たち }\}\)、を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f: \mathbb{N} \to J \{\text{ 全てのオーダープリザービング（順序維持）バイジェクション（全単射）たち }\} (s \circ f \in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}, \text{ それから、 } s \text{ は復元できる })\)
//
2: 注
本命題に対する動機は、任意の一般シーケンス（列）に対する任意の議論に対して、\(\mathbb{N}\)からのあるシーケンス（列）を私たちが使うことを正当化することである: 任意の一般シーケンス（列）に対するある議論に対して、私たちはしばしば、\(\mathbb{N}\)からのあるシーケンス（列）を使う、\(J\)からのあるシーケンス（列）ではなく、しかし、\(J\)からの任意のシーケンス（列）\(s\)に対して、\(s \circ f\)は\(\mathbb{N}\)からのあるシーケンス（列）であり、もしも、ある主張が\(s \circ f\)に対して成立すれば、当該主張を\(s = s \circ f \circ f^{-1}\)へ移すことができる。
例えば、\(s\)はあるポイントへコンバージ（収束）する、もしも、\(s \circ f\)が同一ポイントへコンバージ（収束）する場合、そしてその場合に限って、なぜなら、もしも、\(s\)が\(p\)へコンバージ（収束）する場合、以下を満たすある\(N \in J\)、つまり、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in J\)に対して、\(dist (p, s (j)) \lt \epsilon\)、がある、すると、以下を満たす\(f^{-1} (N) \in \mathbb{N}\)、つまり、\(f^{-1} (N) \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (p, s \circ f (j)) \lt \epsilon\)、なぜなら、\(N \lt f (j)\); もしも、\(s \circ f\)は\(p\)へコンバージ（収束）する場合、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (p, s \circ f (j)) \lt \epsilon\)、すると、以下を満たす\(f (N) \in J\)、つまり、\(f (N) \lt j\)を満たす各\(j \in J\)に対して、\(dist (p, s (j)) \lt \epsilon\)、なぜなら、\(s (j) = s \circ f \circ f^{-1} (j)\)および\(N \lt f^{-1} (j)\)。
注意として、\(f\)はオーダープリザービング（順序維持）であるから、\(f^{-1}\)はオーダープリザービング（順序維持）である、なぜなら、\(j \lt l\)を満たす各\(j, l \in J\)に対して、もしも、\(f^{-1} (l) \lt f^{-1} (j)\)であったら、\(f (f^{-1} (l)) \lt f (f^{-1} (j))\)、それが意味することになるのは、\(l \lt j\)、矛盾。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)を構築する; ステップ2: \(f\)はあるオーダープリザービング（順序維持）バイジェクション（全単射）であることを見る; ステップ3: \(s\)は\(s \circ f\)から復元できることを見る。
ステップ1:
\(J \subseteq \mathbb{N}\)は最小要素\(j_0\)を持つ、なぜなら、\(\mathbb{N}\)はあるウェルオーダードセット（整列集合）である、それは、よく知られている事実。
\(J \setminus \{j_0\}\)は最小要素\(j_1\)を持つ、同様に。
一般に、\(J \setminus \{j_0, ..., j_{n - 1}\}\)は最小要素\(j_n\)を持つ、同様に。
したがって、逐次的に、マップ（写像）\(f: \mathbb{N} \to J, l \mapsto j_l\)を定義しよう。
ステップ2:
\(f\)はあるバイジェクション（全単射）であることを見よう。
\(f\)はあるインジェクション（単射）である、なぜなら、\(j \lt l\)を満たす各\(j, l \in \mathbb{N}\)に対して、\(f (l)\)は\(J \setminus \{f (0), ..., f (l - 1)\}\)から選ばれる。
\(f\)はあるサージェクション（全射）である、なぜなら、各\(j \in J\)に対して、\(j\)は\(J\)の\(l\)-番目に小さい要素である、ある\(l \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、そして、\(j = f (l - 1)\)。
したがって、\(f\)はあるバイジェクション（全単射）である。
\(f\)はオーダープリザービング（順序維持）である、なぜなら、以下を満たす各\(j, l \in \mathbb{N}\)、つまり、\(j \lt l\)、に対して、\(f (j)\)および\(f (l)\)は\(J\)の\(j + 1\)-番目に小さい要素および\(l + 1\)-番目に小さい要素である、したがって、\(f (j) \lt f (l)\)。
ステップ3:
\(f\)はあるバイジェクション（全単射）であるから、\(s = s \circ f \circ f^{-1}\)、したがって、\(s\)は\(s \circ f\)から復元できる。
