メトリックスペース（計量付き空間）、バウンデッドサブセット（有界部分集合）、リアルナンバー（実数）に対して、サブセット（部分集合）の各ポイント周りのナンバー（数字）半径のオープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）はバウンデッド（有界）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）のバウンデッドサブセット（有界部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、任意のバウンデッドサブセット（有界部分集合）、任意のリアルナンバー（実数）に対して、当該サブセット（部分集合）の各ポイント周りの当該ナンバー（数字）半径のオープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）はバウンデッド（有界）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{M \text{ の全てのバウンデッドサブセット（有界部分集合）たち }\}\)で、ディアミター（直径）\(D\)を持つもの
\(\epsilon\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(0 \lt \epsilon\)を満たすもの
\(S'\): \(= \cup_{s \in S} B_{s, \epsilon}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S'\in \{M \text{ の全てのバウンデッドサブセット（有界部分集合）たち }\}\)で、ディアミター（直径）\(D + 2 \epsilon\)に等しいかそれより小さいものを持つもの
//
2: 注
本命題は、\(S'\)のディアミター（直径）が厳密に\(D + 2 \epsilon\)であるとは言わない。
例えば、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）のメトリックサブスペース（部分空間）\(M \subseteq \mathbb{R}^2 = B_{0, 1}\)、\(S = B_{0, 1 - \epsilon / 2}\)に対して、\(S\)のディアミター（直径）は\(2 (1 - \epsilon / 2)\)である、しかし、\(S' = B_{0, 1}\)、そのディアミター（直径）は\(2 \lt 2 (1 - \epsilon / 2) + 2 \epsilon\)である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(s'_1, s'_2 \in S'\)を取り、\(dist (s'_1, s'_2) \lt D + 2 \epsilon\)であることを見る。
ステップ1:
\(s'_1, s'_2 \in S'\)を任意のものとしよう。
\(s'_j \in B_{s_j, \epsilon}\)、ある\(s_j \in S\)に対して。
\(dist (s'_1, s'_2) \le dist (s'_1, s_1) + dist (s_1, s_2) + dist (s_2, s'_2) \lt \epsilon + D + \epsilon = D + 2 \epsilon\)。
したがって、\(S' \)は、バウンデッド（有界）で、\(D + 2 \epsilon\)に等しいかそれより小さいディアミター（直径）を持つ。
