メトリックスペース（計量付き空間）、サブセット（部分集合）、サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）、ポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して、もしも、サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）の各ポイント周りのナンバー（数字）半径のオープンボール（開球）がサブセット（部分集合）内に包含されている場合、サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）の各ポイント周りのより小さい半径のオープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）内に包含されていることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）の定義を知っている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）、任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）の各ポイント周りの当該ナンバー（数字）半径のオープンボール（開球）が当該サブセット（部分集合）内に包含されている場合、当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）の各ポイント周りの任意のより小さい半径のオープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S'\): \(\subseteq M\)
\(S\): \(\subseteq S'\)
\(\epsilon\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(0 \lt \epsilon\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall s \in S (B_{s, \epsilon} \subseteq S')\)
\(\implies\)
\(\forall \delta \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \delta \lt \epsilon (\overline{\cup_{s \in S} B_{s, \delta}} \subseteq S')\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(m \in \overline{\cup_{s \in S} B_{s, \delta}}\)に対して、\(m\)は、\(\cup_{s \in S} B_{s, \delta}\)内にあるか\(\cup_{s \in S} B_{s, \delta}\)のあるアキュームレーションポイント（集積点）であり、\(m\)はいずれにせよ\(S'\)内にあることを見る。
ステップ1:
\(m \in \overline{\cup_{s \in S} B_{s, \delta}}\)を任意のものとしよう。
\(m\)は、\(\cup_{s \in S} B_{s, \delta}\)内にあるか\(\cup_{s \in S} B_{s, \delta}\)のあるアキュームレーションポイント（集積点）である、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(m\)が\(\cup_{s \in S} B_{s, \delta}\)内にある時、\(m \in B_{s, \delta}\)、ある\(s \in S\)に対して、そして、\(m \in B_{s, \delta} \subseteq B_{s, \epsilon} \subseteq S'\)。
\(m\)は\(\cup_{s \in S} B_{s, \delta}\)のあるアキュームレーションポイント（集積点）であると仮定しよう。
ある\(p \in B_{m, \epsilon - \delta} \cap \cup_{s \in S} B_{s, \delta}\)がある。
\(B_{m, \epsilon - \delta} \cap \cup_{s \in S} B_{s, \delta} = \cup_{s \in S} (B_{m, \epsilon - \delta} \cap B_{s, \delta})\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(p \in B_{m, \epsilon - \delta} \cap B_{s, \delta}\)、ある\(s \in S\)に対して。
\(dist (m, s) \le dist (m, p) + dist (p, s) \lt \epsilon - \delta + \delta = \epsilon\)、したがって、\(m \in B_{s, \epsilon} \subseteq S'\)。
したがって、\(m \in S'\)、いずれにせよ。
したがって、\(\overline{\cup_{s \in S} B_{s, \delta}} \subseteq S'\)。
