ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）でポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）であるものの定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）でポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）であるものの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \mathbb{R}^{d_1}\): \(= \text{ 当該ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\( \mathbb{R}^{d_2}\): \(= \text{ 当該ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\( S_1\): \(\subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)
\( S_2\): \(\subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)
\( p\): \(\in S_1\)
\(*f\): \(: S_1 \to S_2\)
//
コンディションたち:
\(\exists U'_p \in \{p \text{ の } \mathbb{R}^{d_1} \text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}, \exists f': U'_p \to \mathbb{R}^{d_2} (f' \vert_{U'_p \cap S_1} = f \vert_{U'_p \cap S_1} \land f' \in \{p \text{ においてディファレンシャブル（微分可能）である全てのマップ（写像）たち }\})\)
//
2: 注
\(f\)のデリバティブ（微分係数）たちは必ずしも\(S_1\)上で取れないから、私たちは、\(U'_p\)を導入する必要がある。
\(f' \in \{p \text{ においてディファレンシャブル（微分可能）な全てのマップ（写像）たち }\}\)は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）であるものの定義によるものである。
\(S_1\)が\(\mathbb{R}^{d_1}\)上でオープン（開）である時は、本定義は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）であるものの定義に一致する、なぜなら、そのケースにおいては、もしも、\(f\)が後者定義を満たす場合、\(U'_p\)および\(f'\)は、前者定義に対する\(S_1\)および\(f\)と取ることができる; もしも、\(f\)が前者定義を満たす場合、前者定義に対する\(U'_p\)および\(f'\)は存在する、しかし、\(U'_p \cap S_1\)は\(p\)の\(\mathbb{R}^{d_1}\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であるから、\(f' \vert_{U'_p \cap S_1}\)は不可避に\(p\)のおいてディファレンシャブル（微分可能）である、そして、\(f' \vert_{U'_p \cap S_1} = f \vert_{U'_p \cap S_1}\)であるから、\(f \vert_{U'_p \cap S_1}\)は\(p\)においてディファレンシャブル（微分可能）である、それが含意するのは、\(f\)は\(p\)においてディファレンシャブル（微分可能）であること。
"\(p\)においてディファレンシャブル（微分可能）"と呼ばれているが、\(f\)の\(p\)におけるデリバティブ（微分係数）たちは一般には必ずしも決定されない、なぜなら、それらは\(f'\)の選択に依存するかもしれない: 例えば、\(S_1 = \{0\} \subseteq \mathbb{R}\)および\(f: S_1 \to \mathbb{R}, 0 \mapsto 0\)に対して、\(f\)は\(0\)においてディファレンシャブル（微分可能）である、なぜなら、\(f': \mathbb{R} \to \mathbb{R}, r \mapsto a r\)は、\(f' (0) = f (0)\)を満たし、任意の\(a \in \mathbb{R}\)に対してディファレンシャブル（微分可能）である、しかし、第1番デリバティブ（微分係数）\(a\)は\(f'\)の選択に依存する。それでも、本定義のディファレンシャブル（微分可能）性はウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、それは、そもそも、デリバティブ（微分係数）たちの存在たちを主張する意図を有していない。
しかし、典型的には、\(S_1\)は、ある\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するように、\(S_1 = \mathbb{H}^{d_1} \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)のようであり、そのケースにおいては、デリバティブ（微分係数）たちは\(f'\)の選択に独立して決定される、なぜなら、当該デリバティブ（微分係数）たちは本当に\(f\)によって決定される: 例えば、\(\partial_{d_1} f' \vert_0 = lim_{\delta \to +0} (f (0, ..., 0, \delta) - f (0, ..., 0, 0)) / \delta\)。通常は（必ずではないが）、\(f\)のディファレンシャブル（微分可能）性はそういうケースたちにおいて語られる。
