ローカルマキシマム（最大値）またはミニマム（最小値）ポイントにおけるパーシャルデリバティブ（微分係数）たちに対するフェルマーの定理の記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ローカルマキシマム（最大値）またはミニマム（最小値）ポイントにおけるパーシャルデリバティブ（微分係数）たちに対するフェルマーの定理: 任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）が任意のポイントにおいてローカルマキシマム（最大値）またはローカルミニマム（最小値）を持つ場合、当該ポイントにおける全てのパーシャルデリバティブ（微分係数）たちは\(0\)である、の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^{d_1}\): \(= \text{ 当該ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\(U\): \(\in \{\mathbb{R}^{d_1} \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(f\): \(: U \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全てのディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）たち }\}\)
\(u\): \(\in U\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \text{ は } u \text{ においてローカルマキシマム（最大値）またはローカルミニマム（最小値）を持つ }\)
\(\implies\)
\(\forall j \in \{1, ..., d_1\} ({\partial_j f}_u = 0)\)
//
2: 注
逆は必ずしも成立しない、なぜなら、\(p\)はインフレクションポイント（変曲点）かもしれない: 例えば、\(U = \mathbb{R}\)、\(f = r^3\)、\(u = 0\)としよう、すると、\({\partial_1 f}_u = 0\)、しかし、\(f\)は\(u\)においてローカルマキシマム（最大値）もローカルミニマム（最小値）も持たない、なぜなら、\(0 \lt \delta\)を満たす各\(\delta \in \mathbb{R}\)に対して、\(f (- \delta) \lt 0 \land 0 \lt f (\delta)\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(u\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_u\)でその上方で\(f\)が\(u\)においてマキシマム（最大値）またはミニマム（最小値）を持つものを取る; ステップ2: \((f (u^1, ..., u^j + \delta, ..., u^{d_1}) - f (u)) / \delta \le 0\)または\(0 \le (f (u^1, ..., u^j + \delta, ..., u^{d_1}) - f (u)) / \delta\)および\(0 \le (f (u) - f (u^1, ..., u^j - \delta, ..., u^{d_1})) / \delta\)または\((f (u) - f (u^1, ..., u^j - \delta, ..., u^{d_1})) / \delta \le 0\)であることを見る; ステップ3: \(lim_{\delta \to 0} (f (u^1, ..., u^j + \delta, ..., u^{d_1}) - f (u)) / \delta \le 0\)または\(0 \le lim_{\delta \to 0} (f (u^1, ..., u^j + \delta, ..., u^{d_1}) - f (u)) / \delta\)および\(0 \le lim_{\delta \to 0} (f (u) - f (u^1, ..., u^j - \delta, ..., u^{d_1})) / \delta\)または\(lim_{\delta \to 0} (f (u) - f (u^1, ..., u^j - \delta, ..., u^{d_1})) / \delta \le 0\)であることを見る。
ステップ1:
\(u\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_u \subseteq U\)でその上方で\(f\)は\(u\)においてマキシマム（最大値）またはミニマム（最小値）を持つものがある、ローカルマキシマム（最大値）またはローカルミニマム（最小値）の定義によって。
ステップ2:
\(u\)周りのある\(2 \delta\)-オープンキューブ（開立方体）\(C_{u, 2 \delta} \subseteq U_u\)がある: メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義に対する"注"を参照のこと。
\(j \in \{1, ..., d_1\}\)を任意のものとしよう。
\(f\)が\(u\)においてローカルマキシマム（最大値）を持つ時、\((f (u^1, ..., u^j + \delta, ..., u^{d_1}) - f (u)) / \delta \le 0\)および\(0 \le (f (u) - f (u^1, ..., u^j - \delta, ..., u^{d_1})) / \delta\)、なぜなら、\(f (u)\)は\(C_{u, 2 \delta}\)上方のマキシマム（最大値）である。
\(f\)が\(u\)においてローカルミニマム（最小値）を持つ時、\(0 \le (f (u^1, ..., u^j + \delta, ..., u^{d_1}) - f (u)) / \delta\)および\((f (u) - f (u^1, ..., u^j - \delta, ..., u^{d_1})) / \delta \le 0\)、なぜなら、\(f (u)\)は\(C_{u, 2 \delta}\)上方のミニマム（最小値）である。
ステップ3:
\(f\)は\(u\)においてローカルマキシマム（最大値）を持つと仮定しよう。
\({\partial_j f}_u = lim_{\delta \to 0} (f (u^1, ..., u^j + \delta, ..., u^{d_1}) - f (u)) / \delta \le 0\)および\(0 \le lim_{\delta \to 0} (f (u) - f (u^1, ..., u^j - \delta, ..., u^{d_1})) / \delta = {\partial_j f}_u\)、それが含意するのは、\({\partial_j f}_u = 0\)。
\(f\)は\(u\)においてローカルミニマム（最小値）を持つと仮定しよう。
\(0 \le lim_{\delta \to 0} (f (u^1, ..., u^j + \delta, ..., u^{d_1}) - f (u)) / \delta = {\partial_j f}_u\)および\({\partial_j f}_u = lim_{\delta \to 0} (f (u) - f (u^1, ..., u^j - \delta, ..., u^{d_1})) / \delta \le 0\)、それが含意するのは、\({\partial_j f}_u = 0\)。
