クローズドインターバル（閉区間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中へのディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対する平均値定理の記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）でポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）であるものの定義を知っている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題を認めている。
- 読者は、ローカルマキシマム（最大値）またはミニマム（最小値）ポイントにおけるパーシャルデリバティブ（微分係数）たちに対するフェルマーの定理: 任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）が任意のポイントにおいてローカルマキシマム（最大値）またはローカルミニマム（最小値）を持つ場合、当該ポイントにおける全てのパーシャルデリバティブ（微分係数）たちは\(0\)であるを認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクローズドインターバル（閉区間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対する平均値定理の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\(J\): \(= [r_1, r_2] \subseteq \mathbb{R}\)で、\(r_1 \lt r_2\)を満たすもの
\(f\): \(: J \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全てのディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists r \in (r_1, r_2) ({\partial_1 f}_r = (f (r_2) - f (r_1)) / (r_2 - r_1))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f' : J \to \mathbb{R}, x \mapsto f (x) - (f (r_2) - f (r_1)) / (r_2 - r_1) x\)を取る; ステップ2: \(f'\)はある\(r \in (r_1, r_2)\)においてマキシマム（最大値）またはミニマム（最小値）を持つことを見る; ステップ3: \({\partial_1 f'}_r = 0\)であることを見る。
ステップ1:
\(f' : J \to \mathbb{R}, x \mapsto f (x) - (f (r_2) - f (r_1)) / (r_2 - r_1) x\)を取ろう。
ステップ2:
\(f' (r_1) = f (r_1) - (f (r_2) - f (r_1)) / (r_2 - r_1) r_1 = (f (r_1) (r_2 - r_1) - (f (r_2) - f (r_1)) r_1) / (r_2 - r_1) = (f (r_1) r_2 - f (r_2) r_1) / (r_2 - r_1)\); \(f' (r_2) = f (r_2) - (f (r_2) - f (r_1)) / (r_2 - r_1) r_2 = (f (r_2) (r_2 - r_1) - (f (r_2) - f (r_1)) r_2) / (r_2 - r_1) = (f (r_2) (- r_1) - (- f (r_1)) r_2) / (r_2 - r_1) = (f (r_1) r_2 - f (r_2) r_1) / (r_2 - r_1)\)、したがって、\(f' (r_1) = f' (r_2)\)。
\(f'\)はコンティニュアス（連続）であり\([r_1, r_2]\)はコンパクトである、したがって、\(f' ([r_1, r_2])\)はマキシマム（最大値）およびミニマム（最小値）を持つ、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題によって。
もしも、\(f'\)が\(r_1\)または\(r_2\)においてマキシマム（最大値）およびミニマム（最小値）の両方を取る場合、\(f' (r_1) = f' (r_2)\)であるから、\(f'\)はコンスタントである、したがって、任意の\(r \in (r_1, r_2)\)において、\(f'\)はマキシマム（最大値）を持つ。
そうでなければ、\(f'\)はある\(r \in (r_1, r_2)\)においてマキシマム（最大値）またはミニマム（最小値）を持つ。
したがって、いずれにせよ、\(f'\)はある\(r \in (r_1, r_2)\)においてマキシマム（最大値）またはミニマム（最小値）を持つ。
ステップ3:
\({\partial_1 f'}_r = 0\)、ローカルマキシマム（最大値）またはミニマム（最小値）ポイントにおけるパーシャルデリバティブ（微分係数）たちに対するフェルマーの定理: 任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）が任意のポイントにおいてローカルマキシマム（最大値）またはローカルミニマム（最小値）を持つ場合、当該ポイントにおける全てのパーシャルデリバティブ（微分係数）たちは\(0\)であるによって。
\({\partial_1 f'}_r = {\partial_1 f}_r - (f (r_2) - f (r_1)) / (r_2 - r_1)\)。
したがって、\({\partial_1 f}_r = (f (r_2) - f (r_1)) / (r_2 - r_1)\)。
