メトリックスペース（計量付き空間）は\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）で当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものは\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(M \in \{\text{ 全ての } T_1 \text{ トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M\)は、\(T_1\)であるためのコンディションを満たすことを見る。
ステップ1:
\(m_1, m_2 \in M\)を、\(m_1 \neq m_2\)を満たす任意のものとしよう。
\(0 \lt dist (m_1, m_2)\)、メトリック（計量）の定義によって。
\(B_{m_1, dist (m_1, m_2) / 2} \subseteq M\)を取ろう、それは、\(m_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義に対する"注"によって。
\(m_2 \notin B_{m_1, dist (m_1, m_2) / 2}\)、なぜなら、\(dist (m_1, m_2) / 2 \le dist (m_1, m_2)\)。
したがって、\(M\)はある\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）である。
