ローワークローズドインターバル（下方閉区間）からトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）およびコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に対して、もしも、ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）でサブセット（部分集合）のコンプリメント（補）の中へマップされる要素たちからなるものが空でなくローワーエンド（下端）のイメージ（像）がサブセット（部分集合）内にある場合、ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）内にあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）を知っている。
- 読者は、任意のローワークローズドインターバル（下方閉区間）および任意の非空サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は存在し、当該サブセット（部分集合）のリアルナンバー（実数）たちセット（集合）上におけるインフィマム（下限）に等しいという命題を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローワークローズドインターバル（下方閉区間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（連続写像）および当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）で当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補）の中へマップされる全ての要素たちからなるものが空でなく当該ローワーエンド（下端）のイメージ（像）が当該サブセット（部分集合）内にある場合、当該ドメイン（定義域）の当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）のイメージ（像）は当該サブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）内にあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、カノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つもの
\(J_1\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのローワークローズドドインターバル（下方閉区間）たち }\}\)で、ローワーエンド（下端）\(r_1\)を持ち、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S_2\): \(\subseteq T_2\)
\(f\): \(: J_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(S\): \(= \{r \in J_1 \vert f (r) \in T_2 \setminus S_2\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \neq \emptyset \land f (r_1) \in S_2\)
\(\implies\)
\(f (Inf (S)) \in Bou (S_2)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(t := Inf (S)\)は存在することを見る; ステップ2: \(f (t)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (t)}\)および以下を満たすある\(B_{t, \delta}\)、つまり、\(f (B_{t, \delta} \cap J_1) \subseteq U_{f (t)}\)、を取る; ステップ 3: \(f (B_{t, \delta} \cap J_1) \cap (T_2 \setminus S_2) \neq \emptyset\)であることを見る; ステップ4: \(f (B_{t, \delta} \cap J_1) \cap S_2 \neq \emptyset\)であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(Inf (S)\)は存在する、任意のローワークローズドインターバル（下方閉区間）および任意の非空サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は存在し、当該サブセット（部分集合）のリアルナンバー（実数）たちセット（集合）上におけるインフィマム（下限）に等しいという命題によって。
\(t := Inf (S)\)としよう。
ステップ2:
\(U_{f (t)} \subseteq T_2\)の\(f (t)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq J_1\)、つまり、\(f (U_t) \subseteq U_{f (t)}\)、がある。
\(U_t = U'_t \cap J_1\)、ここで、\(U'_t \subseteq \mathbb{R}\)は\(t\)の\(\mathbb{R}\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
ある\(B_{t, \delta} \subseteq U'_t\)がある、ユークリディアントポロジーの定義によって。
\(B_{t, \delta} \cap J_1 \subseteq U_t\)、そして、\(f (B_{t, \delta} \cap J_1) \subseteq U_{f (t)}\)。
ステップ3:
\(f (t) \in \overline{T_2 \setminus S_2}\)であることを見よう。
\(f (t) \in T_2 \setminus S_2\)である時、\(f (B_{t, \delta} \cap J_1) \cap (T_2 \setminus S_2) \neq \emptyset\)。
\(f (t) \in S_2\)である時、\(t\)は\(J_1\)のアッパーエンド（上端）ではない、もしも、\(J_1\)がアッパークローズド（上方閉）である場合でも、なぜなら、そうでなければ、\(S = \emptyset\)、なぜなら、\([r_1, t)\)は\(S\)のポイントを全く包含しないことになる（そうでなければ、\(t\)はローワーバウンド（下限）ではないことになる）、そして、\(t \notin S\)、したがって、ある\([t, t + \delta')\)、ここで、\(0 \lt \delta' \lt \delta\)、が\(J_1\)内に包含されている、しかし、\([t, t + \delta')\)の全体が\(S_2\)内にマップされることはあり得ない、なぜなら、もしも、そうであったら、\(t\)は当該ローワーバウンド（下限）たちのマキシマム（最大値）ではないことになる、したがって、\(f (B_{t, \delta} \cap J_1) \cap (T_2 \setminus S_2) \neq \emptyset\)。
したがって、いずれにせよ、\(f (B_{t, \delta} \cap J_1) \cap (T_2 \setminus S_2) \neq \emptyset\)、したがって、\(U_{f (t)} \cap (T_2 \setminus S_2) \neq \emptyset\)。
それが意味するのは、\(f (t) \in \overline{T_2 \setminus S_2}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
ステップ4:
\(t = r_1\)である時、\(f (r_1) \in S_2\)であるから、\(f (B_{t, \delta} \cap J_1) \cap S_2 \neq \emptyset\)。
\(r_1 \lt t\)である時、以下を満たすある\(\delta' \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta' \lt \delta\)および\((t - \delta', t)\)は\(J_1\)内に包含されている、がある、そして、\((t - \delta', t)\)全体が\(S_2\)内にマップされる、なぜなら、そうでなければ、\(t\)は\(S\)のローワーバウンド（下限）でないことになる、したがって、\(f (B_{t, \delta} \cap J_1) \cap S_2 \neq \emptyset\)。
したがって、いずれにせよ、\(f (B_{t, \delta} \cap J_1) \cap S_2 \neq \emptyset\)、したがって、\(U_{f (t)} \cap S_2 \neq \emptyset\)。
それが意味するのは、\(f (t) \in \overline{S_2}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
ステップ5:
したがって、\(f (t) \in \overline{S_2} \cap \overline{T_2 \setminus S_2} = Bou (S_2)\)。
