\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall \{t_1, t_2\} \subseteq T \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } t_1 \neq t_2 (\exists U_{t_1} \in \{t_1 \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (t_2 \notin U_{t_1}))\)
//
それは\(\{t_2, t_1\} \subseteq T\)に対しても成立するので、不可避に、以下を満たす\(U_{t_2}\)、つまり、\(t_1 \notin U_{t_2}\)、もある: これは、\(U_{t_1}\)か\(U_{t_2}\)があるという問題ではない。
2: 注
本定義は、各ポイントは\(T\)のクローズドサブセット（閉部分集合）であるということに等しい。
その事実を見よう。
本定義を仮定しよう。
\(t_1 \in T\)を任意のものとしよう。
\(t_2 \in T \setminus \{t_1\}\)を任意のものとしよう。
\(t_1 \neq t_2\)。
したがって、\(t_2\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_2} \subseteq T\)、つまり、\(t_1 \notin U_{t_2}\)、がある、それが意味するのは、\(U_{t_2} \subseteq T \setminus \{t_1\}\)。
したがって、\(T \setminus \{t_1\} \subseteq T\)はオープンサブセット（開部分集合）である、オープン（開）であることのローカル基準によって。
したがって、\(\{t_1\}\)は\(T\)のクローズドサブセット（閉部分集合）である。
各ポイントは\(T\)のクローズドサブセット（閉部分集合）であると仮定しよう。
\(\{t_1, t_2\} \subseteq T\)を\(t_1 \neq t_2\)を満たす任意のものとしよう。
\(t_1 \in T \setminus \{t_2\}\)。
\(T \setminus \{t_2\}\)はオープン（開）である、したがって、\(t_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_1} \subseteq T\)、つまり、\(U_{t_1} \subseteq T \setminus \{t_2\}\)、がある、オープン（開）であることのローカル基準によって。
それが意味するのは、\(t_2 \notin U_{t_1}\)。
