グループ（群）およびファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのプロダクト（積）のインバース（逆）はサブセット（部分集合）たちのインバース（逆）たちの逆順によるプロダクト（積）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）プロダクト（積）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）のインバース（逆）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）および任意のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちの任意の順序によるプロダクト（積）のインバース（逆）は当該サブセット（部分集合）たちのインバース（逆）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\), \(= \{j_1, ..., j_n\}\)
\(\{S_j \subseteq G \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\((S_{j_1} ... S_{j_n})^{-1} = {S_{j_n}}^{-1} ... {S_{j_1}}^{-1}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \((S_{j_1} ... S_{j_n})^{-1} \subseteq {S_{j_n}}^{-1} ... {S_{j_1}}^{-1}\)であることを見る; ステップ2: \({S_{j_n}}^{-1} ... {S_{j_1}}^{-1} \subseteq (S_{j_1} ... S_{j_n})^{-1}\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(p \in (S_{j_1} ... S_{j_n})^{-1}\)を任意のものとしよう。
\(p = {p^{-1}}^{-1}\)、ここで、\(p^{-1} \in S_{j_1} ... S_{j_n}\)。
\(p^{-1} = s_{j_1} ... s_{j_n}\)、ここで、\(s_{j_1} \in S_{j_1}, ..., s_{j_n} \in S_{j_n}\)。
したがって、\(p = {p^{-1}}^{-1} = (s_{j_1} ... s_{j_n})^{-1} = {s_{j_n}}^{-1} ... {s_{j_1}}^{-1} \in {S_{j_n}}^{-1} ... {S_{j_1}}^{-1}\)。
したがって、\((S_{j_1} ... S_{j_n})^{-1} \subseteq {S_{j_n}}^{-1} ... {S_{j_1}}^{-1}\)。
ステップ2:
\(p \in {S_{j_n}}^{-1} ... {S_{j_1}}^{-1}\)を任意のものとしよう。
\(p = {s_{j_n}}^{-1} ... {s_{j_1}}^{-1}\)、ここで、\(s_{j_1} \in S_{j_1}, ..., s_{j_n} \in S_{j_n}\)。
\({s_{j_n}}^{-1} ... {s_{j_1}}^{-1} = (s_{j_1} ... s_{j_n})^{-1}\)。
\(s_{j_1} ... s_{j_n} \in S_{j_1} ... S_{j_n}\)。
したがって、\(p = (s_{j_1} ... s_{j_n})^{-1} \in (S_{j_1} ... S_{j_n})^{-1}\)。
したがって、\({S_{j_n}}^{-1} ... {S_{j_1}}^{-1} \subseteq (S_{j_1} ... S_{j_n})^{-1}\)。
ステップ3:
したがって、\((S_{j_1} ... S_{j_n})^{-1} = {S_{j_n}}^{-1} ... {S_{j_1}}^{-1}\)。
