グループ（群）、シンメトリック（対称）サブセット（部分集合）、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、サブセット（部分集合）の数乗はシンメトリック（対称）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、当該サブセット（部分集合）の当該数乗はシンメトリック（対称）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{G \text{ の全てのシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S^n \in \{G \text{ の全てのシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 注
本命題は、\(S_{j_1} ... S_{j_n}\)、ここで、\(S_{j_1}, ..., S_{j_n}\)はシンメトリック（対称）、というケースに即座に一般化はできない、\(G\)がアーベリアンでない時は、なぜなら、\((S_{j_1} ... S_{j_n})^{-1} = {S_{j_n}}^{-1} ... {S_{j_1}}^{-1} = S_{j_n} ... S_{j_1}\)は成立するが、"\(= S_{j_1} ... S_{j_n}\)"は証明されていない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のグループ（群）および任意のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちの任意の順序によるプロダクト（積）のインバース（逆）は当該サブセット（部分集合）たちのインバース（逆）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題を適用する。
ステップ1:
\((S^n)^{-1} = (S^{-1})^n\)、任意のグループ（群）および任意のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちの任意の順序によるプロダクト（積）のインバース（逆）は当該サブセット（部分集合）たちのインバース（逆）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題によって。
しかし、\(S^{-1} = S\)であるから、\(= S^n\)。
したがって、\(S^n\)はシンメトリック（対称）である。
