トポロジカルグループ（群）およびファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちでそれらのクロージャー（閉包）たちがコンパクトであるものたちに対して、サブセット（部分集合）たちのプロダクト（積）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのプロダクト（積）内に包含されていてコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルグループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）プロダクト（積）の定義 を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意のコンパクトサブセット（部分集合）のインバース（逆）はコンパクトであり、任意のコンパクトサブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）積はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）および任意のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちでそれらのクロージャー（閉包）たちがコンパクトであるものたちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのプロダクト（積）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのプロダクト（積）内に包含されていてコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\), \(= \{j_1, ..., j_n\}\)
\(\{S_j \subseteq G \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in J (\overline{S_j} \in \{G \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\})\)
\(\implies\)
(
\(\overline {S_{j_1} ... S_{j_n}} \subseteq \overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)
\(\implies\)
\(\overline {S_{j_1} ... S_{j_n}} \in \{G \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
)
//
2: 注
"証明"は、\(G\)がハウスドルフであるよう要求する、したがって、\(G\)はあるトポロジカルグループ（群）であるよう要求されている、単なる、あるグループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの、でなく。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S_{j_1} ... S_{j_n} \subseteq \overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)であることを見る; ステップ2: \(\overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)はコンパクトでありクローズド（閉）であることを見る; ステップ3: \(\overline {S_{j_1} ... S_{j_n}} \subseteq \overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(S_{j_1} ... S_{j_n} \subseteq \overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)、なぜなら、\(S_{j_l} \subseteq \overline{S_{j_l}}\)。
ステップ2:
\(\overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)はコンパクトである、任意のグループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意のコンパクトサブセット（部分集合）のインバース（逆）はコンパクトであり、任意のコンパクトサブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）積はコンパクトであるという命題によって。
\(\overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
ステップ3:
\(\overline {S_{j_1} ... S_{j_n}} \subseteq \overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)、なぜなら、\(\overline {S_{j_1} ... S_{j_n}}\)は、\(S_{j_1} ... S_{j_n}\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるところ、\(\overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)はそうしたクローズドサブセット（閉部分集合）たちの1つである、ステップ1およびステップ2によって。
ステップ4:
\(\overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)、トポロジカルサブスペース（部分空間）として、は、あるコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
\(\overline {S_{j_1} ... S_{j_n}}\)は、\(G\)上でクローズド（閉）であり、\(\overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)、当該トポロジカルサブスペース（部分空間）として、上でそうである、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって: \(\overline {S_{j_1} ... S_{j_n}} = \overline {S_{j_1} ... S_{j_n}} \cap \overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)。
\(\overline {S_{j_1} ... S_{j_n}}\)は\(\overline{S_{j_1}} ... \overline{S_{j_n}}\)のあるコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって。
\(\overline {S_{j_1} ... S_{j_n}}\)は\(G\)のあるコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。
