メトリックスペース（計量付き空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）とポイント間ディスタンス（距離）は他ポイントに関してトライアングル（三角）不等式を満たすことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のサブセット（部分集合）とポイント間ディスタンス（距離）の定義を知っている。
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードリング（半順序環）、任意のサブセット（部分集合）、任意の要素に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、（当該サブセット（部分集合）プラス当該要素）のサプリマム（上限）は存在し、（当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限））プラス当該要素に等しい、そして、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、（当該サブセット（部分集合）プラス当該要素）のインフィマム（下限）は存在し、（当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限））プラス当該要素に等しいという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）と任意のポイント間ディスタンス（距離）は任意の他ポイントに関してトライアングル（三角）不等式を満たすという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq M\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall m, m' \in M (dist (S, m) \le dist (S, m') + dist (m', m))\)
//
2: 注
あるメトリックスペース（計量付き空間）に対して、何らかのサブセット（部分集合）たち間ディスタンス（距離）は必ずしもトライアングル（三角）不等式を満たさないという命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 定義\(dist (S, m) = Inf (\{dist (s, m) \vert s \in S\})\)を取り、\(Inf (\{dist (s, m) \vert s \in S\}) \le Inf (\{dist (s, m') + dist (m', m) \vert s \in S\}) = dist (m', m) + Inf (\{dist (s, m') \vert s \in S\})\)であることを見る。
ステップ1:
定義上、\(dist (S, m) = dist (S, \{m\}) = Inf (\{dist (s, m) \vert s \in S, m \in \{m\}\}) = Inf (\{dist (s, m) \vert s \in S\})\)。
\(dist (s, m) \le dist (s, m') + dist (m', m)\)であるから、\(Inf (\{dist (s, m) \vert s \in S\}) \le Inf (\{dist (s, m') + dist (m', m) \vert s \in S\}) = dist (m', m) + Inf (\{dist (s, m') \vert s \in S\})\)、任意のパーシャリーオーダードリング（半順序環）、任意のサブセット（部分集合）、任意の要素に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、（当該サブセット（部分集合）プラス当該要素）のサプリマム（上限）は存在し、（当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限））プラス当該要素に等しい、そして、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、（当該サブセット（部分集合）プラス当該要素）のインフィマム（下限）は存在し、（当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限））プラス当該要素に等しいという命題によって、\(= dist (m', m) + dist (S, m')\)。
したがって、\(dist (S, m) \le dist (S, m') + dist (m', m)\)。
