パーシャリーオーダードリング（半順序環）およびサブセット（部分集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、（サブセット（部分集合）プラス要素）のサプリマム（上限）は存在し、（サブセット（部分集合）のサプリマム（上限））プラス要素に等しい、そして、もしも、サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、（サブセット（部分集合）プラス要素）のインフィマム（下限）は存在し、（サブセット（部分集合）のインフィマム（下限））プラス要素に等しいことの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードリング（半順序環）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードリング（半順序環）、任意のサブセット（部分集合）、任意の要素に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、（当該サブセット（部分集合）プラス当該要素）のサプリマム（上限）は存在し、（当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限））プラス当該要素に等しい、そして、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、（当該サブセット（部分集合）プラス当該要素）のインフィマム（下限）は存在し、（当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限））プラス当該要素に等しいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのパーシャリーオーダードリング（半順序環）たち }\}\)で、任意のパーシャルオーダリング（半順序）\(\lt\)を持つもの
\(S\): \(\subseteq R\)
\(r\): \(\in R\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists Sup (S)\)
\(\implies\)
\(\exists Sup (S + r) \land Sup (S + r) = Sup (S) + r\)
)
\(\land\)
(
\(\exists Inf (S)\)
\(\implies\)
\(\exists Inf (S + r) \land Inf (S + r) = Inf (S) + r\)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Sup (S)\)は存在すると仮定する; ステップ2: \(Ub (S + r) = Ub (S) + r\)であることを見る; ステップ3: \(Min (Ub (S + r)) = Min (Ub (S)) + r\)であることを見る; ステップ4: \(Inf (S)\)は存在すると仮定する; ステップ5: \(Lb (S + r) = Lb (S) + r\)であることを見る; ステップ6: \(Max (Lb (S + r)) = Max (Lb (S)) + r\)であることを見る。
ステップ1:
\(Sup (S)\)は存在すると仮定しよう。
ステップ2:
\(Ub (S + r) = Ub (S) + r\)であることを見よう。
\(r' \in Ub (S + r)\)を任意のものとしよう。
各\(s \in S\)に対して、\(s + r \le r'\)、したがって、\(s \le r' - r\)、したがって、\(r' - r \in Ub (S)\)、したがって、\(r' \in Ub (S) + r\)。
したがって、\(Ub (S + r) \subseteq Ub (S) + r\)。
\(r' \in Ub (S) + r\)を任意のものとしよう。
\(r' = p + r\)、ある\(p \in Ub (S)\)に対して、それが意味するのは、各\(s \in S\)に対して、\(s \le p\)、したがって、\(s + r \le p + r = r'\)、したがって、\(r' \in Ub (S + r)\)。
したがって、\(Ub (S) + r \subseteq Ub (S + r)\)。
したがって、\(Ub (S + r) = Ub (S) + r\)。
ステップ3:
\(Min (Ub (S + r)) = Min (Ub (S)) + r\)であることを見よう。
\(Ub (S + r) = Ub (S) + r\)であるから、代わりに、\(Min (Ub (S) + r) = Min (Ub (S)) + r\)を見る。
\(Min (Ub (S)) + r \in Ub (S) + r\)、なぜなら、\(Min (Ub (S)) \in Ub (S)\)、それが含意するのは、\(Min (Ub (S)) + r \in Ub (S) + r\)。
各\(p \in Ub (S)\)に対して、\(Min (Ub (S)) \le p\)、したがって、\(Min (Ub (S)) + r \le p + r\)、それが意味するのは、\(Min (Ub (S)) + r = Min (Ub (S) + r)\)。
したがって、\(Sup (S + r) = Min (Ub (S + r)) = Min (Ub (S) + r)\)は存在し、\(Min (Ub (S)) + r = Sup (S) + r\)に等しい。
ステップ4:
\(Inf (S)\)は存在すると仮定しよう。
ステップ5:
\(Lb (S + r) = Lb (S) + r\)であることを見よう。
\(r' \in Lb (S + r)\)を任意のものとしよう。
各\(s \in S\)に対して、\(r' \le s + r\)、したがって、\(r' - r \le s\)、したがって、\(r' - r \in Lb (S)\)、したがって、\(r' \in Lb (S) + r\)。
したがって、\(Lb (S + r) \subseteq Lb (S) + r\)。
\(r' \in Lb (S) + r\)を任意のものとしよう。
\(r' = p + r\)、ある\(p \in Lb (S)\)に対して、それが意味するのは、各\(s \in S\)に対して、\(p \le s\)、したがって、\(r' = p + r = \le s + r\)、したがって、\(r' \in Lb (S + r)\)。
したがって、\(Lb (S) + r \subseteq Lb (S + r)\)。
したがって、\(Lb (S + r) = Lb (S) + r\)。
ステップ6:
\(Max (Lb (S + r)) = Max (Lb (S)) + r\)であることを見よう。
\(Lb (S + r) = Lb (S) + r\)であるから、代わりに、\(Max (Lb (S) + r) = Max (Lb (S)) + r\)であることを見る。
\(Max (Lb (S)) + r \in Lb (S) + r\)、なぜなら、\(Max (Lb (S)) \in Lb (S)\)、それが含意するのは、\(Max (Lb (S)) + r \in Lb (S) + r\)。
各\(p \in Lb (S)\)に対して、\(p \le Max (Lb (S))\)、したがって、\(p + r \le Max (Lb (S)) + r\)、それが意味するのは、\(Max (Lb (S)) + r = Max (Lb (S) + r)\)。
したがって、\(Inf (S + r) = Max (Lb (S + r)) = Max (Lb (S) + r)\)は存在し、\(Max (Lb (S)) + r = Inf (S) + r\)に等しい。
